Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти координаты центра тяжести тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20254
Страница 1 из 1

Автор:  Nepp [ 09 дек 2012, 20:31 ]
Заголовок сообщения:  Найти координаты центра тяжести тела

Найти координаты центра тяжести тела однородного тела, ограниченного поверхностями

[math]x^2+y^2+z^2=3,\quad x^2+y^2=2z[/math]

Помогите, ребят, пожалуйста.

Автор:  Alexdemath [ 10 дек 2012, 00:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты центра тяжести тела

Тело задано неоднозначно. Если имеется ввиду то, которое ограничено "снизу" параболоидом и "сверху" сферой, тогда решаем так.

Из уравнений найдёте проекцию на плоскость [math]Oxy[/math] линии пересечения поверхностей [math]x^2+y^2=2[/math] (окружность радиуса [math]\sqrt{2}[/math] с центром в начале координат).

[math]T=\left\{x^2+y^2\leqslant 2,~ \frac{x^2+y^2}{2}\leqslant z\leqslant \sqrt{3-x^2-y^2}\right\}[/math]

Перейдём в цилиндрические координаты [math]\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi,\\z=z.\end{cases}[/math]

[math]T^{\ast}= \left\{0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi,~ 0\leqslant r\leqslant \sqrt{2},~ \frac{r^2}{2}\leqslant z\leqslant \sqrt{3-r^2}\right\}[/math]

[math]m= \iiint\limits_{T}dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}}r\,drd\varphi dz= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}}r\,dr \int\limits_{r^2\!\not{\phantom{|}}\,\, 2}^{\sqrt{3-r^2}}dz= \ldots= \frac{\pi}{3}\bigl(6\sqrt{3}-5\bigr)[/math]

[math]m_{xy}= \iiint\limits_{T}z\,dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}}z\,r\,drd\varphi dz= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}}r\,dr \int\limits_{r^2\!\not{\phantom{|}}\,\, 2}^{\sqrt{3-r^2}}z\,dz= \ldots= \frac{5\pi}{3}[/math]

[math]m_{xz}= \iiint\limits_{T}y\,dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}}r\sin\varphi\cdot r\,drd\varphi dz= \int\limits_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}}r^2\,dr \int\limits_{r^2\!\not{\phantom{|}}\,\, 2}^{\sqrt{3-r^2}}dz= \ldots= 0[/math]

[math]m_{yz}= \iiint\limits_{T}x\,dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}}r\cos\varphi\cdot r\,drd\varphi dz= \int\limits_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}}r^2\,dr \int\limits_{r^2\!\not{\phantom{|}}\,\, 2}^{\sqrt{3-r^2}}dz= \ldots= 0[/math]

[math]x_c=\frac{m_{yz}}{m}=\ldots,\qquad y_c=\frac{m_{xz}}{m}=\ldots,\qquad z_c=\frac{m_{xy}}{m}=\ldots[/math]

Только внимательно посмотрите в своих лекциях, какие там обозначения.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/