| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать дифференцируемость интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20171 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | MoskvinAlex [ 07 дек 2012, 15:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать дифференцируемость интеграла |
Помогите пожалуйста с задачкой Нужно доказать дифференцируемость по y интеграла. промежуток интегрирования от 0 до 1 интеграл от функции (sin(xy)*dx)/((sqrt(1-x^2))*(x+y)) [math]\int\limits_{0}^{1}\frac{\sin(xy)\,dx}{(x+y)\sqrt{1-x^2}}[/math] |
|
| Автор: | Human [ 08 дек 2012, 10:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать дифференцируемость интеграла |
Вам нужно просто проверить выполнение условий теоремы о дифференцировании несобственного интеграла с параметром. Именно: 1) Непрерывность подынтегральной функции и её частной производной по [math]y[/math] на полуоткрытом прямоугольнике [math]0\leqslant x<1,\ c\leqslant y\leqslant d[/math], где [math]c[/math] и [math]d[/math] произвольные числа. 2) Сходимость самого интеграла и равномерная сходимость интеграла от частной производной подынтегральной функции по [math]y[/math] на отрезке [math][c;d][/math]. Учтите, что некоторые из этих пунктов при некоторых [math]y[/math] выполняться не будут (например, при [math]y\in[-1;0)[/math] интеграл не сходится). |
|
| Автор: | MoskvinAlex [ 08 дек 2012, 21:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать дифференцируемость интеграла |
Хотелось бы поподробнее....Хотя бы про равномерную сходимость.. |
|
| Автор: | MoskvinAlex [ 09 дек 2012, 12:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать дифференцируемость интеграла |
То еть я правильно понимаю что на интервале (-беск,-1) + [0,беск) дифференцироемость имеет место быть. А на [-1,0) нет? |
|
| Автор: | Human [ 09 дек 2012, 16:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать дифференцируемость интеграла |
MoskvinAlex писал(а): Хотелось бы поподробнее....Хотя бы про равномерную сходимость.. Что именно непонятно? MoskvinAlex писал(а): То еть я правильно понимаю что на интервале (-беск,-1) + [0,беск) дифференцироемость имеет место быть. А на [-1,0) нет? Похоже на то. |
|
| Автор: | MoskvinAlex [ 09 дек 2012, 16:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать дифференцируемость интеграла |
Доказывая равномерную сходимость, на промежутке от -беск до -1 , не получается найти мажоранту |
|
| Автор: | Human [ 09 дек 2012, 16:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать дифференцируемость интеграла |
Необязательно искать мажоранту именно на этом промежутке (тем более, что её, скорее всего, не существует). Можно взять промежуток [math](-\infty,-1-\varepsilon][/math], где [math]\varepsilon>0[/math]. Тогда, например, [math]|x+y|\geqslant\varepsilon[/math], и мажоранта легко ищется. Получаем дифференцируемость интеграла на [math](-\infty,-1-\varepsilon][/math] при любом [math]\varepsilon>0[/math], а значит и на [math](-\infty,-1)[/math]. |
|
| Автор: | MoskvinAlex [ 09 дек 2012, 16:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать дифференцируемость интеграла |
Спасибо, всё стало ясно:) |
|
| Автор: | MoskvinAlex [ 09 дек 2012, 16:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать дифференцируемость интеграла |
а непрерывность нарушается на y (-1;0]? |
|
| Автор: | Human [ 09 дек 2012, 17:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать дифференцируемость интеграла |
Да, при [math]x=-y[/math]. Но отсутствие непрерывности ещё не говорит о том, что интеграл не является дифференцируемым. Главное, что сам интеграл как функция от [math]y[/math] не существует при этих [math]y[/math], а значит и дифференцируемой в этих точках функция быть не может. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|