Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать дифференцируемость интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20171
Страница 1 из 2

Автор:  MoskvinAlex [ 07 дек 2012, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Доказать дифференцируемость интеграла

Помогите пожалуйста с задачкой

Нужно доказать дифференцируемость по y интеграла. промежуток интегрирования от 0 до 1

интеграл от функции (sin(xy)*dx)/((sqrt(1-x^2))*(x+y))

[math]\int\limits_{0}^{1}\frac{\sin(xy)\,dx}{(x+y)\sqrt{1-x^2}}[/math]

Автор:  Human [ 08 дек 2012, 10:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать дифференцируемость интеграла

Вам нужно просто проверить выполнение условий теоремы о дифференцировании несобственного интеграла с параметром. Именно:

1) Непрерывность подынтегральной функции и её частной производной по [math]y[/math] на полуоткрытом прямоугольнике [math]0\leqslant x<1,\ c\leqslant y\leqslant d[/math], где [math]c[/math] и [math]d[/math] произвольные числа.

2) Сходимость самого интеграла и равномерная сходимость интеграла от частной производной подынтегральной функции по [math]y[/math] на отрезке [math][c;d][/math].

Учтите, что некоторые из этих пунктов при некоторых [math]y[/math] выполняться не будут (например, при [math]y\in[-1;0)[/math] интеграл не сходится).

Автор:  MoskvinAlex [ 08 дек 2012, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать дифференцируемость интеграла

Хотелось бы поподробнее....Хотя бы про равномерную сходимость..

Автор:  MoskvinAlex [ 09 дек 2012, 12:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать дифференцируемость интеграла

То еть я правильно понимаю что на интервале (-беск,-1) + [0,беск) дифференцироемость имеет место быть. А на [-1,0) нет?

Автор:  Human [ 09 дек 2012, 16:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать дифференцируемость интеграла

MoskvinAlex писал(а):
Хотелось бы поподробнее....Хотя бы про равномерную сходимость..



Что именно непонятно?

MoskvinAlex писал(а):
То еть я правильно понимаю что на интервале (-беск,-1) + [0,беск) дифференцироемость имеет место быть. А на [-1,0) нет?


Похоже на то.

Автор:  MoskvinAlex [ 09 дек 2012, 16:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать дифференцируемость интеграла

Доказывая равномерную сходимость, на промежутке от -беск до -1 , не получается найти мажоранту

Автор:  Human [ 09 дек 2012, 16:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать дифференцируемость интеграла

Необязательно искать мажоранту именно на этом промежутке (тем более, что её, скорее всего, не существует). Можно взять промежуток [math](-\infty,-1-\varepsilon][/math], где [math]\varepsilon>0[/math]. Тогда, например, [math]|x+y|\geqslant\varepsilon[/math], и мажоранта легко ищется. Получаем дифференцируемость интеграла на [math](-\infty,-1-\varepsilon][/math] при любом [math]\varepsilon>0[/math], а значит и на [math](-\infty,-1)[/math].

Автор:  MoskvinAlex [ 09 дек 2012, 16:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать дифференцируемость интеграла

Спасибо, всё стало ясно:)

Автор:  MoskvinAlex [ 09 дек 2012, 16:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать дифференцируемость интеграла

а непрерывность нарушается на y (-1;0]?

Автор:  Human [ 09 дек 2012, 17:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать дифференцируемость интеграла

Да, при [math]x=-y[/math]. Но отсутствие непрерывности ещё не говорит о том, что интеграл не является дифференцируемым. Главное, что сам интеграл как функция от [math]y[/math] не существует при этих [math]y[/math], а значит и дифференцируемой в этих точках функция быть не может.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/