Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| MoskvinAlex |
|
||
|
Нужно доказать дифференцируемость по y интеграла. промежуток интегрирования от 0 до 1 интеграл от функции (sin(xy)*dx)/((sqrt(1-x^2))*(x+y)) [math]\int\limits_{0}^{1}\frac{\sin(xy)\,dx}{(x+y)\sqrt{1-x^2}}[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Human |
|
||
|
Вам нужно просто проверить выполнение условий теоремы о дифференцировании несобственного интеграла с параметром. Именно:
1) Непрерывность подынтегральной функции и её частной производной по [math]y[/math] на полуоткрытом прямоугольнике [math]0\leqslant x<1,\ c\leqslant y\leqslant d[/math], где [math]c[/math] и [math]d[/math] произвольные числа. 2) Сходимость самого интеграла и равномерная сходимость интеграла от частной производной подынтегральной функции по [math]y[/math] на отрезке [math][c;d][/math]. Учтите, что некоторые из этих пунктов при некоторых [math]y[/math] выполняться не будут (например, при [math]y\in[-1;0)[/math] интеграл не сходится). |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: mad_math |
|||
| MoskvinAlex |
|
||
|
Хотелось бы поподробнее....Хотя бы про равномерную сходимость..
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| MoskvinAlex |
|
|
|
То еть я правильно понимаю что на интервале (-беск,-1) + [0,беск) дифференцироемость имеет место быть. А на [-1,0) нет?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
||
|
MoskvinAlex писал(а): Хотелось бы поподробнее....Хотя бы про равномерную сходимость.. Что именно непонятно? MoskvinAlex писал(а): То еть я правильно понимаю что на интервале (-беск,-1) + [0,беск) дифференцироемость имеет место быть. А на [-1,0) нет? Похоже на то. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| MoskvinAlex |
|
|
|
Доказывая равномерную сходимость, на промежутке от -беск до -1 , не получается найти мажоранту
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
||
|
Необязательно искать мажоранту именно на этом промежутке (тем более, что её, скорее всего, не существует). Можно взять промежуток [math](-\infty,-1-\varepsilon][/math], где [math]\varepsilon>0[/math]. Тогда, например, [math]|x+y|\geqslant\varepsilon[/math], и мажоранта легко ищется. Получаем дифференцируемость интеграла на [math](-\infty,-1-\varepsilon][/math] при любом [math]\varepsilon>0[/math], а значит и на [math](-\infty,-1)[/math].
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: MoskvinAlex |
|||
| MoskvinAlex |
|
||
|
Спасибо, всё стало ясно:)
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| MoskvinAlex |
|
||
|
а непрерывность нарушается на y (-1;0]?
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| Human |
|
||
|
Да, при [math]x=-y[/math]. Но отсутствие непрерывности ещё не говорит о том, что интеграл не является дифференцируемым. Главное, что сам интеграл как функция от [math]y[/math] не существует при этих [math]y[/math], а значит и дифференцируемой в этих точках функция быть не может.
|
|||
| Вернуться к началу | |||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 19 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |