| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Равномерная сходимость интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20095 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | kiss_of_life [ 05 дек 2012, 18:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Равномерная сходимость интеграла |
Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, с решением! Необходимо проверить на равномерную сходимость [math]\int\limits_{0}^{ \infty } \frac{ x^{p} }{ \sqrt{e^{x}-1}} dx[/math] , [math]p \geqslant 0[/math] Подскажите, пожалуйста, что с этим делать? Буду признательна за любую помощь:) |
|
| Автор: | Human [ 05 дек 2012, 19:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость интеграла |
Этот интеграл расходится при всех [math]p\geqslant0[/math] по предельному признаку сравнения, а значит и подавно не сходится равномерно. Edit: Прошу прощения, ошибся. Сходится он. |
|
| Автор: | kiss_of_life [ 05 дек 2012, 20:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость интеграла |
Human Да, он сходится. Но вот как проверить равномерно или нет... |
|
| Автор: | Human [ 05 дек 2012, 22:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость интеграла |
У меня получилось, что равномерной сходимости в окрестности бесконечности не наблюдается. Проверьте. Пусть [math]\eta>1[/math], [math]p>1[/math]. Тогда [math]\int\limits_{\eta}^{+\infty}\frac{x^p}{\sqrt{e^x-1}}\,dx>\int\limits_{\eta}^{+\infty}\frac{x^p}{\sqrt{e^x}}\,dx>\int\limits_{\eta}^{+\infty}x^pe^{-x}\,dx=\left.(-x^pe^{-x})\right|_{\eta}^{+\infty}+p\int\limits_{\eta}^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,dx>\eta^pe^{-\eta}[/math] Отсюда видим, что каким бы ни было большим [math]\eta[/math] всегда найдётся достаточно большое [math]p[/math], что, например, [math]\eta^pe^{-\eta}>1[/math]. Значит интеграл не сходится равномерно по определению. |
|
| Автор: | MihailM [ 05 дек 2012, 22:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость интеграла |
Очевидно ж что сходимость неравномерная, какой хвост не возьмешь его можно сделать большим за счет выбора p не успел) |
|
| Автор: | kiss_of_life [ 10 дек 2012, 13:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость интеграла |
Спасибо большое за помощь!
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|