Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Равномерная сходимость интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20095
Страница 1 из 1

Автор:  kiss_of_life [ 05 дек 2012, 18:32 ]
Заголовок сообщения:  Равномерная сходимость интеграла

Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, с решением!
Необходимо проверить на равномерную сходимость

[math]\int\limits_{0}^{ \infty } \frac{ x^{p} }{ \sqrt{e^{x}-1}} dx[/math] , [math]p \geqslant 0[/math]

Подскажите, пожалуйста, что с этим делать?
Буду признательна за любую помощь:)

Автор:  Human [ 05 дек 2012, 19:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость интеграла

Этот интеграл расходится при всех [math]p\geqslant0[/math] по предельному признаку сравнения, а значит и подавно не сходится равномерно.

Edit: Прошу прощения, ошибся. Сходится он.

Автор:  kiss_of_life [ 05 дек 2012, 20:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость интеграла

Human
Да, он сходится. Но вот как проверить равномерно или нет...

Автор:  Human [ 05 дек 2012, 22:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость интеграла

У меня получилось, что равномерной сходимости в окрестности бесконечности не наблюдается. Проверьте.

Пусть [math]\eta>1[/math], [math]p>1[/math]. Тогда

[math]\int\limits_{\eta}^{+\infty}\frac{x^p}{\sqrt{e^x-1}}\,dx>\int\limits_{\eta}^{+\infty}\frac{x^p}{\sqrt{e^x}}\,dx>\int\limits_{\eta}^{+\infty}x^pe^{-x}\,dx=\left.(-x^pe^{-x})\right|_{\eta}^{+\infty}+p\int\limits_{\eta}^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,dx>\eta^pe^{-\eta}[/math]

Отсюда видим, что каким бы ни было большим [math]\eta[/math] всегда найдётся достаточно большое [math]p[/math], что, например, [math]\eta^pe^{-\eta}>1[/math]. Значит интеграл не сходится равномерно по определению.

Автор:  MihailM [ 05 дек 2012, 22:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость интеграла

Очевидно ж что сходимость неравномерная, какой хвост не возьмешь его можно сделать большим за счет выбора p

не успел)

Автор:  kiss_of_life [ 10 дек 2012, 13:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость интеграла

Спасибо большое за помощь! :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/