Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти площадь криволинейной функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20077
Страница 1 из 1

Автор:  SLX [ 05 дек 2012, 03:05 ]
Заголовок сообщения:  Найти площадь криволинейной функции

Найти плошадь криволинейной функции
1. f(x)=5x^2-2x


2. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией f(x) =16-x^2 и прямой x=3.

Обьясните подробно, пожалуйста.

Автор:  Avgust [ 05 дек 2012, 05:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь криволинейной функции

1. Вы не указали диапазон икса, в пределах которого нужно искать площадь. Поэтому поступим так. Сделаем график функции

[math]f=5x^2-2x[/math]

Изображение

Предположим, что речь идет о закрашенной области. Найдем корни уравнения [math]f=0[/math]

[math]5x^2-2x=0 \, \to \, x(5x-2)=0[/math]

Отсюда видно, что корни: [math]x_1=0 \, ; \, x_2=\frac 25[/math]

Это соответствует графику. Теперь найдем площать при помощи определенного интеграла

[math]\int \limits_0^{0.4}(5x^2-2x) dx =\int \limits_0^{0.4}5x^2 dx -2\int \limits_0^{0.4}x dx =[/math]

[math]= 5 \frac {x^3}{3} \bigg |_0^{0.4}-2 \frac{x^2}{2} \bigg |_0^{0.4}=\frac53 \big (0.4^3-0\big )-1\big (0.4^2-0\big ) =-\frac{4}{75}[/math]

У нас получилась отрицательная величина, поскольку мы рассматривали [math]f[/math] в отрицательной зоне. Площадь же всегда положительна, поэтому принимаем мадуль полученного числа:

[math]S=\frac{4}{75}\approx 0.0533[/math]

Автор:  Avgust [ 05 дек 2012, 05:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь криволинейной функции

2) Опять чертим график

Изображение

Видно, что Ваших двух линий недостаточно, чтобы описать площади в конечном виде. Поэтому добавим еще одно ограничение

[math]f = 0[/math]

Но и тут два варианта: то ли площадь [math]S_1[/math], то ли желтая [math]S_2[/math]

Поэтому найдем обе эти площади отдельно:

[math]S_1= \int \limits_{-4}^3 (16-x^2)dx =\int \limits_{-4}^3 16dx-\int \limits_{-4}^3 x^2dx = 16x \bigg |_{-4}^{3}-\frac{x^3}{3}\bigg |_{-4}^{3}=[/math]

[math]= 16 \cdot 3 - 16 (-4)-\left (\frac{3^3}{3}- \frac{-4^3}{3}\right )=16(3+4)-\frac 13 (27+64)=\frac {245}{3}\approx 81.667[/math]

Аналогично можно вычислить площадь

[math]S_2= \int \limits_{3}^4 (16-x^2)dx[/math]

Попробуйте сами взять этот интеграл.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/