Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дифференцирование под знаком интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20043
Страница 1 из 1

Автор:  kiss_of_life [ 04 дек 2012, 11:17 ]
Заголовок сообщения:  Дифференцирование под знаком интеграла

[math]u(x)=\int\limits_{1}^{2} v(x,y)e^{y} dy[/math], [math]1 \leqslant x \leqslant 2[/math],
где [math]v=(x^{2}-y^{2})(1-y), x \leqslant y[/math] и [math]v=(y^{2}-x^{2})(1-x), x > y[/math]

Найти: u"(x)

Подскажите, пожалуйста, ход действий? Каким методом решать?
Буду признательна за любую помощь!!

Автор:  Prokop [ 04 дек 2012, 11:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференцирование под знаком интеграла

Записать функцию [math]u[/math] в виде
[math]u(x) = \int\limits_1^x {\left( {y^2 - x^2 } \right)\left( {1 - x} \right)e^y dy} + \int\limits_x^2 {\left( {x^2 - y^2 } \right)\left( {1 - y} \right)e^y dy}[/math]
Затем есть, по крайней мере, два пути:
1. Вычислить интегралы по [math]y[/math] и продифференцировать ответ по [math]x[/math].
2. Дифференцировать сразу, используя формулу
[math]\frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {K\left( {x,y} \right)f\left( y \right)dy} } \right) = K\left( {x,x} \right)f\left( x \right) + \int\limits_a^x {\frac{{\partial K\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}f\left( y \right)dy}[/math]
и аналогичную ей для интеграла с переменным нижним пределом.

Автор:  kiss_of_life [ 04 дек 2012, 20:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференцирование под знаком интеграла

Извините, я не очень хорошо понимаю эту формулу. Т.е. в моем случае, [math]f\left( y \right) =\left( 1-y \right) e^{y}[/math]? И тогда [math](x^{2}-x^{2})(1-x)e^{x}+\int\limits_{1}^{x} 2x(1-y)e^{y} dy[/math].
И для интеграла с переменным нижним пределом что меняется в формуле? Ничего не могу найти в интернете хорошего на эту тему:(

Автор:  Prokop [ 04 дек 2012, 22:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференцирование под знаком интеграла

Я неудачно написал. Здесь [math]K\left( {x,y} \right) = v\left( {x,y} \right)[/math] и [math]f\left( y \right) = e^y[/math]
Интеграл с переменным нижним пределом перепишите как нтеграла с переменным верхним пределом, поставив перед ним знак минус.

Автор:  kiss_of_life [ 05 дек 2012, 15:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференцирование под знаком интеграла

Есть сомнения в правильности расстановки знаков, не могли бы вы проверить в первой производной?

[math]u(x) = \int\limits_1^x {\left( {y^2 - x^2 } \right)\left( {1 - x} \right)e^y dy} + \int\limits_x^2 {\left( {x^2 - y^2 } \right)\left( {1 - y} \right)e^y dy}[/math]
[math]u'(x)=(x^{2}+x^{2})(1-x)e^{x}+\int\limits_{1}^{x}(-2x+2x^{2}-(y^{2}-x^{2}))e^{y}dy-(x^{2}+x^{2})(1-x)e^{x}+\int\limits_{x}^{2}2x(1-y)e^{y}dy[/math]
[math]u"(x)=(-2x+2x^{2})e^{x}+\int\limits_{1}^{x}(-2+6x)e^{y}dy-(2x-2x^{2})e^{x}+\int\limits_{x}^{2}2(1-y)e^{y}dy[/math]

Большое спасибо за помощь!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/