| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Дифференцирование под знаком интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20043 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | kiss_of_life [ 04 дек 2012, 11:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Дифференцирование под знаком интеграла |
[math]u(x)=\int\limits_{1}^{2} v(x,y)e^{y} dy[/math], [math]1 \leqslant x \leqslant 2[/math], где [math]v=(x^{2}-y^{2})(1-y), x \leqslant y[/math] и [math]v=(y^{2}-x^{2})(1-x), x > y[/math] Найти: u"(x) Подскажите, пожалуйста, ход действий? Каким методом решать? Буду признательна за любую помощь!! |
|
| Автор: | Prokop [ 04 дек 2012, 11:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференцирование под знаком интеграла |
Записать функцию [math]u[/math] в виде [math]u(x) = \int\limits_1^x {\left( {y^2 - x^2 } \right)\left( {1 - x} \right)e^y dy} + \int\limits_x^2 {\left( {x^2 - y^2 } \right)\left( {1 - y} \right)e^y dy}[/math] Затем есть, по крайней мере, два пути: 1. Вычислить интегралы по [math]y[/math] и продифференцировать ответ по [math]x[/math]. 2. Дифференцировать сразу, используя формулу [math]\frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {K\left( {x,y} \right)f\left( y \right)dy} } \right) = K\left( {x,x} \right)f\left( x \right) + \int\limits_a^x {\frac{{\partial K\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}}f\left( y \right)dy}[/math] и аналогичную ей для интеграла с переменным нижним пределом. |
|
| Автор: | kiss_of_life [ 04 дек 2012, 20:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференцирование под знаком интеграла |
Извините, я не очень хорошо понимаю эту формулу. Т.е. в моем случае, [math]f\left( y \right) =\left( 1-y \right) e^{y}[/math]? И тогда [math](x^{2}-x^{2})(1-x)e^{x}+\int\limits_{1}^{x} 2x(1-y)e^{y} dy[/math]. И для интеграла с переменным нижним пределом что меняется в формуле? Ничего не могу найти в интернете хорошего на эту тему:( |
|
| Автор: | Prokop [ 04 дек 2012, 22:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференцирование под знаком интеграла |
Я неудачно написал. Здесь [math]K\left( {x,y} \right) = v\left( {x,y} \right)[/math] и [math]f\left( y \right) = e^y[/math] Интеграл с переменным нижним пределом перепишите как нтеграла с переменным верхним пределом, поставив перед ним знак минус. |
|
| Автор: | kiss_of_life [ 05 дек 2012, 15:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференцирование под знаком интеграла |
Есть сомнения в правильности расстановки знаков, не могли бы вы проверить в первой производной? [math]u(x) = \int\limits_1^x {\left( {y^2 - x^2 } \right)\left( {1 - x} \right)e^y dy} + \int\limits_x^2 {\left( {x^2 - y^2 } \right)\left( {1 - y} \right)e^y dy}[/math] [math]u'(x)=(x^{2}+x^{2})(1-x)e^{x}+\int\limits_{1}^{x}(-2x+2x^{2}-(y^{2}-x^{2}))e^{y}dy-(x^{2}+x^{2})(1-x)e^{x}+\int\limits_{x}^{2}2x(1-y)e^{y}dy[/math] [math]u"(x)=(-2x+2x^{2})e^{x}+\int\limits_{1}^{x}(-2+6x)e^{y}dy-(2x-2x^{2})e^{x}+\int\limits_{x}^{2}2(1-y)e^{y}dy[/math] Большое спасибо за помощь! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|