Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить интеграл с параметром
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20026
Страница 1 из 2

Автор:  dollemika [ 03 дек 2012, 20:54 ]
Заголовок сообщения:  Решить интеграл с параметром

Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, решить такой интеграл:

[math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{-2\sin^2 x}{1-a^2\sin^2 x}\,{dx}[/math]

Конечно, не прошу решать его за меня, но хотя бы подскажите, в каком направлении двигаться, каким методом решения воспользоваться, а то у меня с интегралами совсем плохо. :(
|a|<1

Автор:  Human [ 04 дек 2012, 00:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить интеграл с параметром

В принципе, этот интеграл можно посчитать честно. Введём замену [math]t=\operatorname{ctg}x[/math] и воспользуемся равенством [math]1+\operatorname{ctg}^2x=\frac1{\sin^2x}[/math]. Тогда он сведётся к

[math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}[/math]

Если [math]a\ne0[/math], то

[math]\frac1{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=\frac1{a^2(1-a^2+t^2)}-\frac1{a^2(1+t^2)}[/math]

и значит

[math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=-2\left.\left(\frac1{a^2\sqrt{1-a^2}}\operatorname{arctg}\frac t{\sqrt{1-a^2}}-\frac1{a^2}\operatorname{arctg}t\right)\right|^{+\infty}_0=\frac{\pi}{a^2}-\frac{\pi}{a^2\sqrt{1-a^2}}=-\frac{\pi}{1-a^2+\sqrt{1-a^2}}[/math]

Ну, а в случае [math]a=0[/math], думаю, Вы и сами посчитаете (легче брать исходный интеграл).

Автор:  dollemika [ 04 дек 2012, 01:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить интеграл с параметром

Human, спасибо Вам огромное! :) Да, думаю с a=0 справлюсь)) Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a) (что изначально равняется интегралу от логарифма..) ну так вот, теперь мне, для нахождения F, нужно взять интеграл от ответа по а? Или я что-то не то думаю? :)

Автор:  Human [ 04 дек 2012, 01:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить интеграл с параметром

dollemika писал(а):
Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a)


Напишите задание полностью, а то я пока не могу понять, в чём дело.

Автор:  dollemika [ 04 дек 2012, 01:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить интеграл с параметром

F(x,a) = интеграл от f. Задание - найти F с помощью дифференцирования. Я использовала формулу F'(x,a) = интеграл от производной ф-ии f, т.е. теперь мы знаем F'(x,a). Для нахождения F(x,a) возьмем интеграл по a от того, что получили? Вроде бы так)

Автор:  Human [ 04 дек 2012, 01:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить интеграл с параметром

dollemika писал(а):
F(x,a) = интеграл от f.


Интеграл по какой переменной, в каких пределах и почему [math]F[/math] зависит от [math]x[/math]?

Напишите уже полностью исходное задание вместе с исходным интегралом.

Автор:  dollemika [ 04 дек 2012, 01:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить интеграл с параметром

[math]F(a) = \int\limits_{0}^{\frac{pi}{2}}{\ln {\frac{1-a \sin x}{1+a \sin x}} \sin x}{dx}, |a|<1.[/math] Задание - найти F(a).
P.S. извиняюсь за неточности в предыдущих сообщениях :)

Автор:  Human [ 04 дек 2012, 01:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить интеграл с параметром

Так, теперь всё ясно. Тогда да, нужно теперь полученное выше выражение проинтегрировать по [math]a[/math]. Не забудьте про константу интегрирования.

По-хорошему, нужно ещё проверить, что подынтегральная функция и её частная производная по [math]a[/math] непрерывны в каждом прямоугольнике [math]\left[0;\frac{\pi}2\right]\times[-1+\varepsilon;1-\varepsilon][/math], чтобы можно было пользоваться теоремой о дифференцировании интеграла с параметром, но это вроде и так очевидно из элементарности функций.

Автор:  dollemika [ 04 дек 2012, 10:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить интеграл с параметром

Спасибо за помощь! :good:

Автор:  dollemika [ 04 дек 2012, 12:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить интеграл с параметром

Human
Скажите пожалуйста, а при интегрировании по a, какие пределы интегрирования я должна взять? От -1 до 1?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/