| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Решить интеграл с параметром http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20026 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | dollemika [ 03 дек 2012, 20:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Решить интеграл с параметром |
Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, решить такой интеграл: [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{-2\sin^2 x}{1-a^2\sin^2 x}\,{dx}[/math] Конечно, не прошу решать его за меня, но хотя бы подскажите, в каком направлении двигаться, каким методом решения воспользоваться, а то у меня с интегралами совсем плохо. ![]() |a|<1 |
|
| Автор: | Human [ 04 дек 2012, 00:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить интеграл с параметром |
В принципе, этот интеграл можно посчитать честно. Введём замену [math]t=\operatorname{ctg}x[/math] и воспользуемся равенством [math]1+\operatorname{ctg}^2x=\frac1{\sin^2x}[/math]. Тогда он сведётся к [math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}[/math] Если [math]a\ne0[/math], то [math]\frac1{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=\frac1{a^2(1-a^2+t^2)}-\frac1{a^2(1+t^2)}[/math] и значит [math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=-2\left.\left(\frac1{a^2\sqrt{1-a^2}}\operatorname{arctg}\frac t{\sqrt{1-a^2}}-\frac1{a^2}\operatorname{arctg}t\right)\right|^{+\infty}_0=\frac{\pi}{a^2}-\frac{\pi}{a^2\sqrt{1-a^2}}=-\frac{\pi}{1-a^2+\sqrt{1-a^2}}[/math] Ну, а в случае [math]a=0[/math], думаю, Вы и сами посчитаете (легче брать исходный интеграл). |
|
| Автор: | dollemika [ 04 дек 2012, 01:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить интеграл с параметром |
Human, спасибо Вам огромное! Да, думаю с a=0 справлюсь)) Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a) (что изначально равняется интегралу от логарифма..) ну так вот, теперь мне, для нахождения F, нужно взять интеграл от ответа по а? Или я что-то не то думаю?
|
|
| Автор: | Human [ 04 дек 2012, 01:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить интеграл с параметром |
dollemika писал(а): Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a) Напишите задание полностью, а то я пока не могу понять, в чём дело. |
|
| Автор: | dollemika [ 04 дек 2012, 01:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить интеграл с параметром |
F(x,a) = интеграл от f. Задание - найти F с помощью дифференцирования. Я использовала формулу F'(x,a) = интеграл от производной ф-ии f, т.е. теперь мы знаем F'(x,a). Для нахождения F(x,a) возьмем интеграл по a от того, что получили? Вроде бы так) |
|
| Автор: | Human [ 04 дек 2012, 01:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить интеграл с параметром |
dollemika писал(а): F(x,a) = интеграл от f. Интеграл по какой переменной, в каких пределах и почему [math]F[/math] зависит от [math]x[/math]? Напишите уже полностью исходное задание вместе с исходным интегралом. |
|
| Автор: | dollemika [ 04 дек 2012, 01:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить интеграл с параметром |
[math]F(a) = \int\limits_{0}^{\frac{pi}{2}}{\ln {\frac{1-a \sin x}{1+a \sin x}} \sin x}{dx}, |a|<1.[/math] Задание - найти F(a). P.S. извиняюсь за неточности в предыдущих сообщениях
|
|
| Автор: | Human [ 04 дек 2012, 01:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить интеграл с параметром |
Так, теперь всё ясно. Тогда да, нужно теперь полученное выше выражение проинтегрировать по [math]a[/math]. Не забудьте про константу интегрирования. По-хорошему, нужно ещё проверить, что подынтегральная функция и её частная производная по [math]a[/math] непрерывны в каждом прямоугольнике [math]\left[0;\frac{\pi}2\right]\times[-1+\varepsilon;1-\varepsilon][/math], чтобы можно было пользоваться теоремой о дифференцировании интеграла с параметром, но это вроде и так очевидно из элементарности функций. |
|
| Автор: | dollemika [ 04 дек 2012, 10:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить интеграл с параметром |
Спасибо за помощь!
|
|
| Автор: | dollemika [ 04 дек 2012, 12:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить интеграл с параметром |
Human Скажите пожалуйста, а при интегрировании по a, какие пределы интегрирования я должна взять? От -1 до 1? |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|