Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычисление двойного интеграла с заменой переменных
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20020
Страница 1 из 1

Автор:  diana_semenova [ 03 дек 2012, 19:15 ]
Заголовок сообщения:  Вычисление двойного интеграла с заменой переменных

Вычислить интеграл [math]\int {\int\limits_S {{y^2}} } dxdy[/math] используя замену (полярные координаты) [math]x = ar\cos \varphi ,y = br\sin \varphi[/math], где А и B любые константы. S: [math]x \ge 0;y = \pm \sqrt 3 x;4{x^2} - {y^2} = 4[/math]

посчитать интеграл мне не сложно, про сто с заменой у меня косячно получилось:(

На графике фигура S, только я нарисовала 1-ю четверть, в 4-й четверти все симметрично.
Изображение

Используя теорему пифагора получается что предел [math]d\varphi[/math] равен от нуля до [math]\frac{\pi }{3}[/math](с учетом того что я половину рисунка обрезала, интеграл нужно умножить на два. Если так не хотим, то предел от [math]- \frac{\pi }{3}[/math] до [math]\frac{\pi }{3}[/math])

Вопрос в том, какой предел у переменной R, а также какая там функция получается после замены

Кому не сложно, можно и интеграл посчитать :)

Автор:  Human [ 04 дек 2012, 13:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных

[math]x=r\cos\varphi,\ y=2r\sin\varphi[/math]

[math]\operatorname{tg}\varphi=\frac y{2x}=\frac{\sqrt3}2\Rightarrow\varphi=\frac{\pi}6[/math]

[math]0<\varphi<\frac{\pi}6[/math]

[math]4x^2-y^2=4r^2\cos2\varphi=4\Rightarrow r=\frac1{\sqrt{\cos2\varphi}}[/math]

[math]0<r<\frac1{\sqrt{\cos2\varphi}}[/math]

[math]dxdy=2r\,drd\varphi[/math]

Автор:  Human [ 05 дек 2012, 15:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных

Я ошибся, а меня никто не поправляет :D1

[math]\operatorname{tg}\frac{\pi}6\ne\frac{\sqrt 3}2[/math]

То есть будет просто арктангенс.

Автор:  diana_semenova [ 23 дек 2012, 13:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных

А как в итоге будет выглядеть повторный интеграл?

Автор:  diana_semenova [ 23 дек 2012, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных

Human писал(а):
Я ошибся, а меня никто не поправляет :D1

[math]\operatorname{tg}\frac{\pi}6\ne\frac{\sqrt 3}2[/math]

То есть будет просто арктангенс.



А как в итоге будет выглядеть повторный интеграл?

Автор:  mad_math [ 23 дек 2012, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных

Границы интегрирования вам написали:
[math]0\leq\varphi\leq\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

[math]0\leq r\leq\frac{1}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}[/math]

Якобиан тоже
[math]2rdrd\varphi[/math]

Вам осталось только подставить [math]y=2r\sin{\varphi}[/math] в подынтегральную функцию и записать интеграл по полученным границам границам с полученным якобианом. Вы за две недели не смогли этого сделать?Изображение

Автор:  diana_semenova [ 23 дек 2012, 18:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных

mad_math писал(а):
Границы интегрирования вам написали:
[math]0\leq\varphi\leq\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

[math]0\leq r\leq\frac{1}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}[/math]

Якобиан тоже
[math]2rdrd\varphi[/math]

Вам осталось только подставить [math]y=2r\sin{\varphi}[/math] в подынтегральную функцию и записать интеграл по полученным границам границам с полученным якобианом. Вы за две недели не смогли этого сделать?Изображение


Спасибо, но у меня вопрос. Почему предел r начинается с нуля, а не с единицы. Посмотрите на график.

Автор:  Human [ 23 дек 2012, 18:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных

diana_semenova писал(а):
Почему предел r начинается с нуля, а не с единицы.


Потому что координатные линии для [math]r[/math] в обобщённых полярных координатах представляют собой лучи, выходящие из начала координат. Для данной области они все начинаются с нуля и заканчиваются на гиперболе.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/