| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить координаты центра масс однородного тела http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19915 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | misha92 [ 30 ноя 2012, 09:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить координаты центра масс однородного тела |
Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V, ограниченная указаными поверхностями V: z=8(x^2+y^2) z=32 (ответ 0, 0, 64/3) |
|
| Автор: | Alexdemath [ 30 ноя 2012, 12:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить координаты центра масс однородного тела |
Приравняв правые части уравнений, найдёте [math]x^2+y^2=4[/math]. [math]\begin{gathered} V = \bigl\{ x^2+y^2 \leqslant 4,~8(x^2 + y^2) \leqslant z \leqslant 32\bigr\} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi , \hfill \\ y = r\sin \varphi , \hfill \\ z = z. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ V^{\ast} = \bigl\{ 0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~0 \leqslant r \leqslant 2,~8r^2\leqslant z \leqslant 32\bigr\} \hfill \\ \end{gathered}[/math] (записали область в цилиндрических координатах) [math]\begin{aligned} m &= \iiint\limits_V dxdydz = \iiint\limits_{V^*}r\,drd\varphi dz= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^1 {rdr} \int\limits_{8r^2}^{32}dz = \ldots = 64\pi \\ m_{xy} &= \iiint\limits_V {z\,dxdydz} = \iiint\limits_{V^*} {z\,r\,drd\varphi dz} = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^1 {r\,dr} \int\limits_{8r^2}^{32} {z\,dz} = \ldots = \frac{{4096}}{3}\pi \\ m_{xz}&= \iiint\limits_V {y\,dxdydz} = \iiint\limits_{V^*} r\sin \varphi \cdot r\,drd\varphi dz= \int\limits_0^{2\pi} \sin \varphi\,d\varphi \int\limits_0^1 r^2\,dr \int\limits_{8r^2}^{32}dz= \ldots = 0 \\ m_{yz} &= \iiint\limits_V x\,dxdydz = \iiint\limits_{V^*} r\cos \varphi \cdot r\,drd\varphi dz = \int\limits_0^{2\pi}\cos \varphi d\varphi \int\limits_0^1 r^2\,dr \int\limits_{8r^2}^{32}dz= \ldots = 0 \\ x_c& = \frac{m_{yz}}{m} = 0,\quad y_c= \frac{m_{xz}}{m} = 0,\quad z_c= \frac{m_{xy}}{m}= \frac{64}{3} \end{aligned}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|