| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти массу цилиндра http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19595 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Masha94 [ 19 ноя 2012, 22:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти массу цилиндра |
Помогите пожалуйста с нахождением массы цилиндра x^2+y^2 меньше либо равно R^2, 0 меньше либо равно z меньше либо равно h, если объемная плотность в каждой точке цилиндра пропорциональна квадрату расстояния её от оси цилиндра. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 19 ноя 2012, 23:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти массу цилиндра |
Объемная плотность [math]\delta (x,y,z) = k(x^2 + y^2)[/math], где [math]k[/math] - коэффициент пропорциональности. Область, занимая данным телом, [math]G = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, x^2+y^2\leqslant R^2,~0 \leqslant z \leqslant h\bigr\}[/math] Искомая масса цилиндра [math]\begin{aligned} m &= \iiint\limits_G \delta (x,y,z)\,dxdydz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}k(x^2+y^2)\,dxdy\int\limits_0^h dz= kh\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}(x^2+y^2)\,dxdy= \\ &= \left\{ \begin{gathered} x = \rho \cos \varphi , \hfill \\ y = \rho \sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right\} = kh\int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{R} \rho^2 \cdot \rho\,d\rho = \left. {kh \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4}\rho^4}\right|_{0}^{R} = \frac{\pi}{2}\,k\,h\,R^4 \end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Masha94 [ 20 ноя 2012, 16:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти массу цилиндра |
Спасибо большое за помощь! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|