Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить объём тела. ограниченого поверхностями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19422
Страница 1 из 1

Автор:  salik [ 14 ноя 2012, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить объём тела. ограниченого поверхностями

помогите с пределами интегрирования

Изображение

Автор:  Alexdemath [ 14 ноя 2012, 23:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объём тела. ограниченого поверхностями

Из уравнений найдёте [math]x^2+y^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2[/math], тогда

[math]T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, x^2+y^2\leqslant \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2,~ \sqrt{x^2+y^2}\leqslant z\leqslant\sqrt{1-x^2-y^2}\right\}[/math]

Теперь перейдём в цилиндрические координаты [math]\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi,\\z=z.\end{cases}[/math]

[math]T^{\ast}=\left\{(r,\varphi,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi,~ 0\leqslant r\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}},~ r\leqslant z\leqslant \sqrt{1-r^2}\right\}[/math]

[math]V= \iiint\limits_{T}dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}}r\,dr\,d\varphi\,dz= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}r\,dr \int\limits_{r}^{\sqrt{1-r^2}}dz= 2\pi \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}r\bigl(\sqrt{1-r^2}-r\bigr)dr= \ldots=\frac{\pi}{3}(2-\sqrt{2})[/math]

Автор:  salik [ 15 ноя 2012, 00:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объём тела. ограниченого поверхностями

Огромное спасибо...)))

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/