Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Посчитать кратный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19405
Страница 1 из 1

Автор:  Lady_June [ 14 ноя 2012, 18:55 ]
Заголовок сообщения:  Посчитать кратный интеграл

Доброго времени суток!
Была бы очень благодарна, если б кто-нибудь подсказал, как решить следующую задачу.
Нужно найти площадь области D, которая задана следующим образом:
[math]\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }[/math].
Я перешла в полярные координаты, посчитала якобиан, но в итоге вышло нечто совершенно нерешаемое. Либо же я не могу понять, как это можно решить.
http://s1.ipicture.ru/uploads/20121114/ud7W5nNc.jpg
Возможно, я где-то ошиблась, или необходимо решать каким-то другим способом?
Заранее благодарна за помощь.

Автор:  mad_math [ 14 ноя 2012, 19:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать кратный интеграл

Lady_June писал(а):
Нужно найти площадь области D, которая задана следующим образом:
\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }.

Формулы нужно заключать в тэги:
[math]\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }.[/math]
А картинки лучше заливать на форум:

Изображение

Автор:  Alexdemath [ 14 ноя 2012, 19:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать кратный интеграл

Lady_June, попробуйте перейти в обобщённые полярные координаты

[math]\begin{cases}x=a^2r\cos\varphi,\\ y=b^2r\sin\varphi\end{cases}~~|J|=a^2b^2r[/math]

[math]S=\frac{a^2b^2}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}r^2\,d\varphi[/math]

Автор:  Lady_June [ 15 ноя 2012, 21:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать кратный интеграл

Alexdemath
Благодарю за подсказку. Попробовала, однако в таком случае границы по r получаются немыслимые. Как у вас такой интеграл получился? r ведь из уравнения, которым область задается, выражается, а там то еще выражение выходит - корень из дроби, где даже синусы и косинусы нельзя взаимоуничтожить...

Автор:  Alexdemath [ 16 ноя 2012, 00:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать кратный интеграл

Lady_June писал(а):
Попробовала, однако в таком случае границы по r получаются немыслимые. Как у вас такой интеграл получился?

Вполне берущийся интеграл получается

[math]\begin{gathered} r^4\cos ^4\varphi+r^4\sin^4\varphi= \frac{r^2}{h^2}\cos^2\varphi + \frac{r^2}{k^2}\sin^2\varphi\quad \Rightarrow\quad r^2= h^2k^2 \cdot \frac{k^2\cos^2\varphi+h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi} \hfill \\[10pt] S = a^2b^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{r(\varphi )}r\,dr= {a^2}{b^2}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left. {\frac{r^2}{2}} \right|_0^{r(\varphi )} = \frac{a^2b^2h^2k^2}{2}\int\limits_0^{2\pi}\frac{k^2\cos^2\varphi + h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi}\,d\varphi= \ldots= \frac{a^2b^2h^2k^2}{2}\cdot \sqrt{2}\,\pi\,(h^2+k^2)\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  mad_math [ 16 ноя 2012, 00:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать кратный интеграл

Alexdemath писал(а):
Вполне берущийся интеграл получается
Но глядя на него, брать его совсем не хочется :D1

Автор:  Alexdemath [ 16 ноя 2012, 00:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать кратный интеграл

mad_math, можно разделить почленно числитель и знаменатель на биквадрат косинуса, то есть

[math]\frac{k^2\cos^2\varphi + h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi} = \frac{k^2+h^2\operatorname{tg}^2\varphi }{1 + \operatorname{tg}^4\varphi}\frac{1}{\cos^2\varphi}[/math]
и сделать очевидную подстановку и не забывать, что труд спасёт мир :puzyr:)

Автор:  mad_math [ 16 ноя 2012, 00:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать кратный интеграл

Сегодня я помню только, что лень - двигатель прогресса :hh:)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/