| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Посчитать кратный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19405 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Lady_June [ 14 ноя 2012, 18:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Посчитать кратный интеграл |
Доброго времени суток! Была бы очень благодарна, если б кто-нибудь подсказал, как решить следующую задачу. Нужно найти площадь области D, которая задана следующим образом: [math]\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }[/math]. Я перешла в полярные координаты, посчитала якобиан, но в итоге вышло нечто совершенно нерешаемое. Либо же я не могу понять, как это можно решить. http://s1.ipicture.ru/uploads/20121114/ud7W5nNc.jpg Возможно, я где-то ошиблась, или необходимо решать каким-то другим способом? Заранее благодарна за помощь. |
|
| Автор: | mad_math [ 14 ноя 2012, 19:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать кратный интеграл |
Lady_June писал(а): Нужно найти площадь области D, которая задана следующим образом: \frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }. Формулы нужно заключать в тэги: [math]\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }.[/math] А картинки лучше заливать на форум:
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 14 ноя 2012, 19:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать кратный интеграл |
Lady_June, попробуйте перейти в обобщённые полярные координаты [math]\begin{cases}x=a^2r\cos\varphi,\\ y=b^2r\sin\varphi\end{cases}~~|J|=a^2b^2r[/math] [math]S=\frac{a^2b^2}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}r^2\,d\varphi[/math] |
|
| Автор: | Lady_June [ 15 ноя 2012, 21:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать кратный интеграл |
Alexdemath Благодарю за подсказку. Попробовала, однако в таком случае границы по r получаются немыслимые. Как у вас такой интеграл получился? r ведь из уравнения, которым область задается, выражается, а там то еще выражение выходит - корень из дроби, где даже синусы и косинусы нельзя взаимоуничтожить... |
|
| Автор: | Alexdemath [ 16 ноя 2012, 00:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать кратный интеграл |
Lady_June писал(а): Попробовала, однако в таком случае границы по r получаются немыслимые. Как у вас такой интеграл получился? Вполне берущийся интеграл получается [math]\begin{gathered} r^4\cos ^4\varphi+r^4\sin^4\varphi= \frac{r^2}{h^2}\cos^2\varphi + \frac{r^2}{k^2}\sin^2\varphi\quad \Rightarrow\quad r^2= h^2k^2 \cdot \frac{k^2\cos^2\varphi+h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi} \hfill \\[10pt] S = a^2b^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{r(\varphi )}r\,dr= {a^2}{b^2}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left. {\frac{r^2}{2}} \right|_0^{r(\varphi )} = \frac{a^2b^2h^2k^2}{2}\int\limits_0^{2\pi}\frac{k^2\cos^2\varphi + h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi}\,d\varphi= \ldots= \frac{a^2b^2h^2k^2}{2}\cdot \sqrt{2}\,\pi\,(h^2+k^2)\hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 16 ноя 2012, 00:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать кратный интеграл |
Alexdemath писал(а): Вполне берущийся интеграл получается Но глядя на него, брать его совсем не хочется
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 16 ноя 2012, 00:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать кратный интеграл |
mad_math, можно разделить почленно числитель и знаменатель на биквадрат косинуса, то есть [math]\frac{k^2\cos^2\varphi + h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi} = \frac{k^2+h^2\operatorname{tg}^2\varphi }{1 + \operatorname{tg}^4\varphi}\frac{1}{\cos^2\varphi}[/math] и сделать очевидную подстановку и не забывать, что труд спасёт мир
|
|
| Автор: | mad_math [ 16 ноя 2012, 00:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать кратный интеграл |
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|