Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Lady_June |
|
|
|
Была бы очень благодарна, если б кто-нибудь подсказал, как решить следующую задачу. Нужно найти площадь области D, которая задана следующим образом: [math]\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }[/math]. Я перешла в полярные координаты, посчитала якобиан, но в итоге вышло нечто совершенно нерешаемое. Либо же я не могу понять, как это можно решить. http://s1.ipicture.ru/uploads/20121114/ud7W5nNc.jpg Возможно, я где-то ошиблась, или необходимо решать каким-то другим способом? Заранее благодарна за помощь. |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Lady_June писал(а): Нужно найти площадь области D, которая задана следующим образом: \frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }. Формулы нужно заключать в тэги: [math]\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }.[/math] А картинки лучше заливать на форум: ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
Lady_June, попробуйте перейти в обобщённые полярные координаты
[math]\begin{cases}x=a^2r\cos\varphi,\\ y=b^2r\sin\varphi\end{cases}~~|J|=a^2b^2r[/math] [math]S=\frac{a^2b^2}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}r^2\,d\varphi[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mad_math |
||
| Lady_June |
|
|
|
Alexdemath
Благодарю за подсказку. Попробовала, однако в таком случае границы по r получаются немыслимые. Как у вас такой интеграл получился? r ведь из уравнения, которым область задается, выражается, а там то еще выражение выходит - корень из дроби, где даже синусы и косинусы нельзя взаимоуничтожить... |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
Lady_June писал(а): Попробовала, однако в таком случае границы по r получаются немыслимые. Как у вас такой интеграл получился? Вполне берущийся интеграл получается [math]\begin{gathered} r^4\cos ^4\varphi+r^4\sin^4\varphi= \frac{r^2}{h^2}\cos^2\varphi + \frac{r^2}{k^2}\sin^2\varphi\quad \Rightarrow\quad r^2= h^2k^2 \cdot \frac{k^2\cos^2\varphi+h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi} \hfill \\[10pt] S = a^2b^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{r(\varphi )}r\,dr= {a^2}{b^2}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left. {\frac{r^2}{2}} \right|_0^{r(\varphi )} = \frac{a^2b^2h^2k^2}{2}\int\limits_0^{2\pi}\frac{k^2\cos^2\varphi + h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi}\,d\varphi= \ldots= \frac{a^2b^2h^2k^2}{2}\cdot \sqrt{2}\,\pi\,(h^2+k^2)\hfill \\ \end{gathered}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mad_math |
||
| mad_math |
|
|
|
Alexdemath писал(а): Вполне берущийся интеграл получается Но глядя на него, брать его совсем не хочется ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: valentina |
||
| Alexdemath |
|
|
|
mad_math, можно разделить почленно числитель и знаменатель на биквадрат косинуса, то есть
[math]\frac{k^2\cos^2\varphi + h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi} = \frac{k^2+h^2\operatorname{tg}^2\varphi }{1 + \operatorname{tg}^4\varphi}\frac{1}{\cos^2\varphi}[/math] и сделать очевидную подстановку и не забывать, что труд спасёт мир ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 8 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Кратный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
205 |
01 ноя 2021, 15:10 |
|
|
Кратный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
9 |
491 |
24 фев 2018, 13:09 |
|
|
Кратный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
9 |
721 |
10 мар 2018, 14:33 |
|
|
Кратный интеграл по сложной поверхности
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
207 |
13 дек 2016, 09:18 |
|
|
Вычислить интеграл, Кратный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
579 |
25 апр 2020, 15:39 |
|
|
Посчитать интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
316 |
24 май 2019, 18:21 |
|
|
Посчитать интеграл
в форуме Maple |
2 |
547 |
12 май 2016, 19:17 |
|
|
Посчитать неопределённый интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
388 |
24 ноя 2017, 14:54 |
|
|
Посчитать интеграл (гравитационный потенциал)
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
148 |
05 май 2016, 13:01 |
|
|
Как посчитать двойной интеграл по кругу?
в форуме Интегральное исчисление |
13 |
881 |
19 авг 2018, 23:03 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |