Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Посчитать кратный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2012, 18:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2011, 17:10
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток!
Была бы очень благодарна, если б кто-нибудь подсказал, как решить следующую задачу.
Нужно найти площадь области D, которая задана следующим образом:
[math]\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }[/math].
Я перешла в полярные координаты, посчитала якобиан, но в итоге вышло нечто совершенно нерешаемое. Либо же я не могу понять, как это можно решить.
http://s1.ipicture.ru/uploads/20121114/ud7W5nNc.jpg
Возможно, я где-то ошиблась, или необходимо решать каким-то другим способом?
Заранее благодарна за помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать кратный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2012, 19:02 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Lady_June писал(а):
Нужно найти площадь области D, которая задана следующим образом:
\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }.

Формулы нужно заключать в тэги:
[math]\frac{ x^{4} }{ a^{4} } + \frac{ y^{4} }{ b^{4} } = \frac{ x^{2} }{ h^{2} } + \frac{ y^{2} }{ k^{2} }.[/math]
А картинки лучше заливать на форум:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать кратный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 ноя 2012, 19:25 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Lady_June, попробуйте перейти в обобщённые полярные координаты

[math]\begin{cases}x=a^2r\cos\varphi,\\ y=b^2r\sin\varphi\end{cases}~~|J|=a^2b^2r[/math]

[math]S=\frac{a^2b^2}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}r^2\,d\varphi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать кратный интеграл
СообщениеДобавлено: 15 ноя 2012, 21:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2011, 17:10
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
Благодарю за подсказку. Попробовала, однако в таком случае границы по r получаются немыслимые. Как у вас такой интеграл получился? r ведь из уравнения, которым область задается, выражается, а там то еще выражение выходит - корень из дроби, где даже синусы и косинусы нельзя взаимоуничтожить...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать кратный интеграл
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2012, 00:11 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Lady_June писал(а):
Попробовала, однако в таком случае границы по r получаются немыслимые. Как у вас такой интеграл получился?

Вполне берущийся интеграл получается

[math]\begin{gathered} r^4\cos ^4\varphi+r^4\sin^4\varphi= \frac{r^2}{h^2}\cos^2\varphi + \frac{r^2}{k^2}\sin^2\varphi\quad \Rightarrow\quad r^2= h^2k^2 \cdot \frac{k^2\cos^2\varphi+h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi} \hfill \\[10pt] S = a^2b^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{r(\varphi )}r\,dr= {a^2}{b^2}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left. {\frac{r^2}{2}} \right|_0^{r(\varphi )} = \frac{a^2b^2h^2k^2}{2}\int\limits_0^{2\pi}\frac{k^2\cos^2\varphi + h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi}\,d\varphi= \ldots= \frac{a^2b^2h^2k^2}{2}\cdot \sqrt{2}\,\pi\,(h^2+k^2)\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать кратный интеграл
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2012, 00:16 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Вполне берущийся интеграл получается
Но глядя на него, брать его совсем не хочется :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
valentina
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать кратный интеграл
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2012, 00:28 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math, можно разделить почленно числитель и знаменатель на биквадрат косинуса, то есть

[math]\frac{k^2\cos^2\varphi + h^2\sin^2\varphi}{\cos^4\varphi + \sin^4\varphi} = \frac{k^2+h^2\operatorname{tg}^2\varphi }{1 + \operatorname{tg}^4\varphi}\frac{1}{\cos^2\varphi}[/math]
и сделать очевидную подстановку и не забывать, что труд спасёт мир :puzyr:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Посчитать кратный интеграл
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2012, 00:55 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сегодня я помню только, что лень - двигатель прогресса :hh:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Student Studentovich

6

205

01 ноя 2021, 15:10

Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

theo

9

491

24 фев 2018, 13:09

Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

theo

9

721

10 мар 2018, 14:33

Кратный интеграл по сложной поверхности

в форуме Интегральное исчисление

Gggmput

1

207

13 дек 2016, 09:18

Вычислить интеграл, Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

PUFFIN

4

579

25 апр 2020, 15:39

Посчитать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

kare

3

316

24 май 2019, 18:21

Посчитать интеграл

в форуме Maple

Aspromist

2

547

12 май 2016, 19:17

Посчитать неопределённый интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Fury67

4

388

24 ноя 2017, 14:54

Посчитать интеграл (гравитационный потенциал)

в форуме Интегральное исчисление

Aspromist

0

148

05 май 2016, 13:01

Как посчитать двойной интеграл по кругу?

в форуме Интегральное исчисление

DYITor

13

881

19 авг 2018, 23:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved