Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти координаты центра масс тела,заданного в пространстве
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19349
Страница 1 из 1

Автор:  soprzlo [ 12 ноя 2012, 21:18 ]
Заголовок сообщения:  Найти координаты центра масс тела,заданного в пространстве

найти координаты центра масс тела,заданного в пространстве неравенствами и имеющего плотность

[math]\begin{gathered} \mu = 1 \hfill \\ {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 2(x \geqslant 0,y \leqslant 0,z \geqslant 0) \hfill \\ {z^2} \geqslant {x^2} + {y^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


желательно нарисовать рисунок

Спасибо заранее за помощь!!

Автор:  Alexdemath [ 14 ноя 2012, 13:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты центра масс тела,заданного в пространстве

Запишите область интегрирования и перейдите к цилиндрическим координатам

[math]T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0\leqslant x\leqslant1,\,-\sqrt{1-x^2}\leqslant y\leqslant0,~\sqrt{x^2+y^2}\leqslant z\leqslant \sqrt{2-x^2-y^2}\right\}[/math]

[math]\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\y=r\sin\varphi,\\z=z.\end{cases}[/math]

[math]T^{\ast}=\left\{(r,\varphi,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, \frac{3\pi}{2}\leqslant \varphi\leqslant2\pi,~ 0\leqslant r\leqslant1,~ r\leqslant z\leqslant\sqrt{2-r^2}\right\}[/math]

[math]\begin{aligned}M&= \iiint\limits_{T}\mu\,dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}}\mu\,r\,dr\,d\varphi\,dz= \int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}}r\,dr \int\limits_{r}^{\sqrt{2-r^2}}dz=\\ &= \left(2\pi-\frac{3\pi}{2}\right)\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}r\bigl(\sqrt{2-r^2}-r\bigr)dr= \ldots=\frac{\pi}{3}(\sqrt{2}-1)\end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/