| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти центр масс однородного тела, ограниченного параболоид http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19242 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Tatata [ 09 ноя 2012, 17:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти центр масс однородного тела, ограниченного параболоид |
Подробное решение кратные интегралы. Найти центр масс однородного тела, ограниченного параболоидом [math]z=\frac{x^2+y^2}{2a}[/math] и сферой [math]x^2+y^2+z^2=3a^2 (z \geqslant 0)[/math]. |
|
| Автор: | Andy [ 10 ноя 2012, 09:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти центр масс однородного тела, ограниченного параболоид |
Tatata Тело расположено над плоскостью Oxy между полусферой [math]z_2=\sqrt{3a^2-x^2-y^2}[/math] и параболоидом [math]z_1=\frac{x^2+y^2}{2a}.[/math] Воспользуемся формулами [math]x_C=\frac{1}{V}\iiint\limits_{V}xdxdydz,~y_C=\frac{1}{V}\iiint\limits_{V}ydxdydz,~z_C=\frac{1}{V}\iiint\limits_{V}zdxdydz.[/math] Исходя из симметрии тела относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz, приходим к выводу, что [math]x_C=0,~y_C=0.[/math] Остаётся найти третью координату. Область D лежит в плоскости Oxy Чтобы её найти, решим систему [math]\left\{\!\begin{aligned} & x^2+y^2+z^2=3a^2, \\ & x^2+y^2=2az \end{aligned}\right. \Rightarrow z^2+2az=3a^2,~z=a.[/math] Значит, сфера и параболоид пересекаются в плоскости [math]z=a[/math] по окружности [math]x^2+y^2=2a^2,[/math] а область D ограничена снаружи этой окружностью. Перейдём к цилиндрическим координатам: [math]x=r\cos\varphi,~y=r\sin\varphi,~z=z[/math] и получим [math]V=\iiint\limits_{V}dxdydz=4\iiint\limits_{\frac{V}{4}}rdrd\varphi dz=[/math] [math]=4\iint\limits_{\frac{D}{4}}rdrd\varphi\int\limits_{\frac{r^2}{2a}}^{\sqrt{3a^2-r^2}}dz=4\iint\limits_{\frac{D}{4}}\bigg({\sqrt{3a^2-r^2}-\frac{r^2}{2a}\bigg)}rdrd\varphi=[/math] [math]=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{\bigg({\sqrt{3a^2-r^2}-\frac{r^2}{2a}\bigg)}rdr}=4\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{\bigg(r\sqrt{3a^2-r^2}-\frac{r^3}{2a}\bigg)dr}=[/math] [math]=2\pi\cdot \left.{\bigg(-\frac{1}{3}\sqrt{(3a^2-r^2)^3}-\frac{r^4}{8a}\bigg)}\!\right|_{0}^{a\sqrt{2}}=\frac{\pi a^3(6\sqrt{3}-5)}{3},[/math] [math]\iiint\limits_{V}zdxdydz=4\iiint\limits_{\frac{V}{4}}rdrd\varphi zdz=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{rdr}\int\limits_{\frac{r^2}{2a}}^{\sqrt{3a^2-r^2}}{zdz}=[/math] [math]=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{r\bigg(3a^2-r^2-\frac{r^4}{4a^2}\bigg)dr}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{\bigg(3a^2 r-r^3-\frac{r^5}{4a^2}\bigg)})dr}=[/math] [math]=2\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\left.{\bigg(\frac{3a^2 r^2}{2}-\frac{r^4}{4}-\frac{r^6}{24a^2}\bigg)}\!\right|_{0}^{a\sqrt{2}}=\pi\bigg(3a^4-a^4-\frac{a^4}{3}\bigg)=\frac{5\pi a^4}{3},[/math] [math]z_C=\frac{1}{V}\iiint\limits_{V}zdxdydz=\frac{\frac{5\pi a^4}{3}}{\frac{\pi a^3(6\sqrt{3}-5)}{3}}=\frac{5a}{6\sqrt{3}-5}.[/math] Следовательно, центр тяжести заданного тела находится в точке [math]C\bigg(0;~0;~\frac{5a}{6\sqrt{3}-5}\bigg).[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|