Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти массу тела, заданного в пространстве неравенствами
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19151
Страница 1 из 1

Автор:  soprzlo [ 05 ноя 2012, 18:13 ]
Заголовок сообщения:  Найти массу тела, заданного в пространстве неравенствами

Собственно сама задача:
Найти массу тела, заданного в пространстве неравенствами и имеющего плотность
[math]\begin{gathered} \mu = z \hfill \\ {x^2} + {y^2} \leqslant 4y \hfill \\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} \leqslant z \leqslant \sqrt {36 - {x^2} - {y^2}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
желательно нарисовать рисунок.


и сразу вторая задача из этой же области:
найти координаты центра масс тела,заданного в пространстве неравенствами и имеющего плотность

[math]\begin{gathered} \mu = 1 \hfill \\ {z^2} \geqslant {x^2} + {y^2} \hfill \\ {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 2(x \geqslant 0,y \leqslant 0,z \geqslant 0) \hfill \\ \end{gathered}[/math]
желательно тоже нарисовать рисунок

Спасибо заранее за помощь!!

Автор:  Alexdemath [ 05 ноя 2012, 19:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти массу тела, заданного в пространстве неравенствами

В первом задании воспользуйтесь стандартной формулой

[math]\begin{aligned}M&=\iiint\limits_{T}\mu\,dxdydz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 4y}dxdy \int\limits_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{36-x^2-y^2}}z\,dz= \iint\limits_{x^2+(y-2)^2\leqslant 2^2}dxdy\left.{\frac{z^2}{2}}\right|_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{36-x^2-y^2}}=\\ &=\iint\limits_{x^2+(y-2)^2\leqslant 2^2}(18-x^2-y^2)\,dxdy=\left\{{\begin{gathered} x=r\cos\varphi,\hfill\\ y=2+r\sin\varphi\hfill\end{gathered}}\right\}=\\ &=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{2}\bigl(18-(r\cos\varphi)^2-(2+r\sin\varphi)^2\bigr)r\,dr=\ldots= 48\pi\end{aligned}[/math]

Автор:  soprzlo [ 06 ноя 2012, 13:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти массу тела, заданного в пространстве неравенствами

спасибо большое за помощь!)

а со второй задачей не подскажете, там тоже по формуле, просто я не могу составить интеграл тройной (ну типа расставить пределы)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/