Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти первообразную
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19144
Страница 1 из 1

Автор:  student-himik [ 05 ноя 2012, 14:55 ]
Заголовок сообщения:  Найти первообразную

Подскажите как решать)
int(r^2/(16-r^2)^(1/2))dr
Я так понимаю напрямую формулой для первообразной int(1/(1-x^2)^(1/2))dx = arcsin(x) + C не воспользоваться.
А как тогда поступить? Нигма выдаёт ответ 8*arcsin(r/4)-(r*(16-r^2)^(1/2))/2 + C

Автор:  mad_math [ 05 ноя 2012, 14:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти первообразную

Замена [math]r=4\sin{t},\sqrt{16-r^2}=4\cos{t},dr=4\cos{t}dt[/math]

Автор:  student-himik [ 05 ноя 2012, 16:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти первообразную

Спасибо!) И теперь, значит:
int((r^2/(16 - r^2)^(1/2))dr = (замена, r = 4sint, (16 - r^2)^(1/2) = 4cost, dr = 4costdt) =
int((16sin^2(t)/4cost)*4cost*dt = 16*int(sin^2(t)) = 16*int((1 - cos2t)/2) =
8*int(1 - cos2t) = 8t - 4sin2t = (обратная замена, t = arcsin(r/4), sin2t = 2sintcost, поэтому
sin2t = 4*2*((16 - r^2)^(1/2))/4)*(r/4) =
8*arcsin(r/4) - 8(((16 - r^2)^(1/2))*r)/16 = 8*arcsin(r/4) - ((16 - r^2)^(1/2)*r)/2?
Ответ вроде сошёлся с Нигмой :Bravo:

Автор:  mad_math [ 05 ноя 2012, 16:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти первообразную

student-himik писал(а):
Спасибо!
Всегда пожалуйста. :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/