Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Эйлеровы интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=18603
Страница 1 из 2

Автор:  ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 21:29 ]
Заголовок сообщения:  Эйлеровы интегралы

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться?

Определить область существования и выразить через Эйлеровы интегралы

1) [math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt[m]{1-x^n}}\;\;\;\;\;\;\;m>0[/math]

Выразить через Эйлеровы интегралы -- жто записать так?

[math]\dispalystyle\int_0^1(1-x^n)^{-m}dx[/math]

Сразу вспоминаю интеграл [math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{dx}{x^\alpha}[/math], который сходится при [math]\alpha<1[/math]

А что еще нужно сделать?

2) [math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/math]

А тут с чего начать?

3) [math]\dispalystyle\int_0^{+\infty}e^{-x^n}dx[/math]

Знаю, что при [math]n=2[/math]-- точно сходится, а как при остальных исследовать?

Автор:  Avgust [ 13 окт 2012, 21:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эйлеровы интегралы

3) При n= 1 [math]I=1[/math]

При n=2 [math]I=\frac{\pi}{2}[/math]

При n=3 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 43\bigg )[/math]

При n=4 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 54\bigg )[/math]

и так далее...

Автор:  ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 22:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эйлеровы интегралы

Avgust писал(а):
3) При n= 1 [math]I=1[/math]

При n=2 [math]I=\frac{\pi}{2}[/math]

При n=3 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 43\bigg )[/math]

При n=4 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 54\bigg )[/math]

и так далее...


То есть сходится при натуральных n?

Автор:  Avgust [ 13 окт 2012, 22:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эйлеровы интегралы

Сходится при всех. Просто при натуральных числах легко выражается через гамму-функцию.
Дробные тоже.

Например при n=9.4=94/10 [math]I= \Gamma \bigg (\frac {52}{47} \bigg )[/math]

При n=3/2 [math]I=\Gamma \bigg (\frac 53 \bigg )[/math]

Иными словами, если n представить в виде рациональной (несократимой) дроби, то есть [math]n=\frac km[/math] , то

[math]I= \Gamma \bigg (\frac {k+m}{k} \bigg )[/math]

Причем, если k=2, то интеграл имеет точное выражение, например:

при n=2/7 [math]I=\Gamma \bigg (\frac 92 \bigg )=\frac{105 \sqrt{\pi}}{16}[/math]

Если же k=1, то[math]I=m![/math]

Автор:  ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 22:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эйлеровы интегралы

Avgust писал(а):
Сходится при всех. Просто при натуральных числах легко выражается через гамму-функцию.
Дробные тоже.

Например при n=9.4=94/10 [math]I= \Gamma \bigg (\frac {52}{47} \bigg )[/math]

При n=3/2 [math]I=\Gamma \bigg (\frac 53 \bigg )[/math]

Иными словами, если n представить в виде рациональной (несократимой) дроби, то есть [math]n=\frac km[/math] , то

[math]I= \Gamma \bigg (\frac {k+m}{k} \bigg )[/math]


Спасибо, а при иррациональных?

Автор:  ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 22:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эйлеровы интегралы

[math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/math]

[math]=-\dfrac{n}{k^n}\dispalystyle\int_0^1\dfrac{d(1+k\cos x)^n}{(1+k\cos x)^n} dx=-\dfrac{n}{k^n}\ln\Big(1+k\cos x\Big)^n\Bigg|_0^1=-\dfrac{n^2}{k^n}\ln\Big(1+k\cos x\Big)\Bigg|_0^1[/math]

Сходится при всех n?

Автор:  Avgust [ 13 окт 2012, 23:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эйлеровы интегралы

Любое иррациональное число можно с любой точностью представить в виде рациональной дроби и, следовательно, всегда можно интеграл выразить через гамма-функцию.

2) Думаю, что интеграл сходится при n>-1

Автор:  ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 23:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эйлеровы интегралы

Avgust писал(а):
Любое иррациональное число можно с любой точностью представить в виде рациональной дроби и, следовательно, всегда можно интеграл выразить через гамма-функцию.

2) Думаю, что интеграл сходится при n>-1


А почему?))

Автор:  ole-ole-ole [ 14 окт 2012, 00:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эйлеровы интегралы

Теперь я разобрался со вторым, а как быть с первым?

Автор:  ole-ole-ole [ 14 окт 2012, 01:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Эйлеровы интегралы

2) [math]\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/math]

[math]t=\tg\Big(\dfrac{x}{2}\Big)[/math]

[math]x=2\arctg(t)[/math]

[math]dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}[/math]

[math]\sin x =\dfrac{2\sin\Big(\dfrac{x}{2}\Big)\cos\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{2\tg\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{1+\tg^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{2t}{1+t^2}[/math]

[math]\cos x =\dfrac{\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)-\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{1-\tg^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{1+\tg^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}[/math]

[math]\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\Big(\dfrac{2t}{1+t^2}\Big)^{n-1}\cdot \dfrac{2dt}{1+t^2}}{\Big(1+k\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big)^n}=2^{n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+t^2+k(1-t^2)\Big)^n}=[/math]

[math]=2^{n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+k+(1-k)t^2)\Big)^n}=
\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+\frac{(1-k)t^2}{1+k})\Big)^n}=[/math]


[math]=\Bigg|a^2=\frac{(1-k)}{1+k}\Bigg|=\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+(at)^2\Big)^n}}=[/math]

[math]=\Bigg|y=at\Bigg|=
\dfrac{2^{n}\cdot a^{1-n}\cdot a^{-1}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^n}}=[/math]


[math]=\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\cdot \Big(\dfrac{1+k}{1-k}\Big)^{n|2}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^n}}=\dfrac{2^{n}}{(1-k^2)^{n|2}}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^{n}}=[/math]

А как дальше? А как с первой задачей?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/