| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Эйлеровы интегралы http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=18603 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 21:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Эйлеровы интегралы |
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться? Определить область существования и выразить через Эйлеровы интегралы 1) [math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt[m]{1-x^n}}\;\;\;\;\;\;\;m>0[/math] Выразить через Эйлеровы интегралы -- жто записать так? [math]\dispalystyle\int_0^1(1-x^n)^{-m}dx[/math] Сразу вспоминаю интеграл [math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{dx}{x^\alpha}[/math], который сходится при [math]\alpha<1[/math] А что еще нужно сделать? 2) [math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/math] А тут с чего начать? 3) [math]\dispalystyle\int_0^{+\infty}e^{-x^n}dx[/math] Знаю, что при [math]n=2[/math]-- точно сходится, а как при остальных исследовать? |
|
| Автор: | Avgust [ 13 окт 2012, 21:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Эйлеровы интегралы |
3) При n= 1 [math]I=1[/math] При n=2 [math]I=\frac{\pi}{2}[/math] При n=3 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 43\bigg )[/math] При n=4 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 54\bigg )[/math] и так далее... |
|
| Автор: | ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 22:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Эйлеровы интегралы |
Avgust писал(а): 3) При n= 1 [math]I=1[/math] При n=2 [math]I=\frac{\pi}{2}[/math] При n=3 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 43\bigg )[/math] При n=4 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 54\bigg )[/math] и так далее... То есть сходится при натуральных n? |
|
| Автор: | Avgust [ 13 окт 2012, 22:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Эйлеровы интегралы |
Сходится при всех. Просто при натуральных числах легко выражается через гамму-функцию. Дробные тоже. Например при n=9.4=94/10 [math]I= \Gamma \bigg (\frac {52}{47} \bigg )[/math] При n=3/2 [math]I=\Gamma \bigg (\frac 53 \bigg )[/math] Иными словами, если n представить в виде рациональной (несократимой) дроби, то есть [math]n=\frac km[/math] , то [math]I= \Gamma \bigg (\frac {k+m}{k} \bigg )[/math] Причем, если k=2, то интеграл имеет точное выражение, например: при n=2/7 [math]I=\Gamma \bigg (\frac 92 \bigg )=\frac{105 \sqrt{\pi}}{16}[/math] Если же k=1, то[math]I=m![/math] |
|
| Автор: | ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 22:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Эйлеровы интегралы |
Avgust писал(а): Сходится при всех. Просто при натуральных числах легко выражается через гамму-функцию. Дробные тоже. Например при n=9.4=94/10 [math]I= \Gamma \bigg (\frac {52}{47} \bigg )[/math] При n=3/2 [math]I=\Gamma \bigg (\frac 53 \bigg )[/math] Иными словами, если n представить в виде рациональной (несократимой) дроби, то есть [math]n=\frac km[/math] , то [math]I= \Gamma \bigg (\frac {k+m}{k} \bigg )[/math] Спасибо, а при иррациональных? |
|
| Автор: | ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 22:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Эйлеровы интегралы |
[math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/math] [math]=-\dfrac{n}{k^n}\dispalystyle\int_0^1\dfrac{d(1+k\cos x)^n}{(1+k\cos x)^n} dx=-\dfrac{n}{k^n}\ln\Big(1+k\cos x\Big)^n\Bigg|_0^1=-\dfrac{n^2}{k^n}\ln\Big(1+k\cos x\Big)\Bigg|_0^1[/math] Сходится при всех n? |
|
| Автор: | Avgust [ 13 окт 2012, 23:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Эйлеровы интегралы |
Любое иррациональное число можно с любой точностью представить в виде рациональной дроби и, следовательно, всегда можно интеграл выразить через гамма-функцию. 2) Думаю, что интеграл сходится при n>-1 |
|
| Автор: | ole-ole-ole [ 13 окт 2012, 23:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Эйлеровы интегралы |
Avgust писал(а): Любое иррациональное число можно с любой точностью представить в виде рациональной дроби и, следовательно, всегда можно интеграл выразить через гамма-функцию. 2) Думаю, что интеграл сходится при n>-1 А почему?)) |
|
| Автор: | ole-ole-ole [ 14 окт 2012, 00:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Эйлеровы интегралы |
Теперь я разобрался со вторым, а как быть с первым? |
|
| Автор: | ole-ole-ole [ 14 окт 2012, 01:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Эйлеровы интегралы |
2) [math]\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/math] [math]t=\tg\Big(\dfrac{x}{2}\Big)[/math] [math]x=2\arctg(t)[/math] [math]dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}[/math] [math]\sin x =\dfrac{2\sin\Big(\dfrac{x}{2}\Big)\cos\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{2\tg\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{1+\tg^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{2t}{1+t^2}[/math] [math]\cos x =\dfrac{\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)-\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{1-\tg^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{1+\tg^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}[/math] [math]\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\Big(\dfrac{2t}{1+t^2}\Big)^{n-1}\cdot \dfrac{2dt}{1+t^2}}{\Big(1+k\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big)^n}=2^{n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+t^2+k(1-t^2)\Big)^n}=[/math] [math]=2^{n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+k+(1-k)t^2)\Big)^n}= \dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+\frac{(1-k)t^2}{1+k})\Big)^n}=[/math] [math]=\Bigg|a^2=\frac{(1-k)}{1+k}\Bigg|=\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+(at)^2\Big)^n}}=[/math] [math]=\Bigg|y=at\Bigg|= \dfrac{2^{n}\cdot a^{1-n}\cdot a^{-1}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^n}}=[/math] [math]=\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\cdot \Big(\dfrac{1+k}{1-k}\Big)^{n|2}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^n}}=\dfrac{2^{n}}{(1-k^2)^{n|2}}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^{n}}=[/math] А как дальше? А как с первой задачей? |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|