Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Правильно ли я решил задачи ?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=18465
Страница 3 из 4

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Приравниваю к нулю, что бы найти угол, а му меня все сокращается

Автор:  Human [ 07 окт 2012, 18:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Конечно нет (что такое [math]a[/math]?)
В полярных координатах функция получается многозначной: одна её часть задаётся уравнением [math]r=2\cos\varphi-\sqrt{4\cos^2\varphi-3}[/math], а другая [math]r=2\cos\varphi+\sqrt{4\cos^2\varphi-3}[/math]. Луч пересекает график в двух точках, и это является признаком многозначности (аналогом в декартовых координатах является окружность). При этом дальняя точка соответствует второму уравнению, а ближняя первому. Значит границы по [math]r[/math] будут [math]2\cos\varphi-\sqrt{4\cos^2\varphi-3}<r<2\cos\varphi+\sqrt{4\cos^2\varphi-3}[/math]. Верхняя граница для [math]\varphi[/math], очевидно, есть 0. Нижняя граница есть точка касания луча и графика. В этой точке значения обоих участков функции совпадают, значит в ней дискриминант обращается в 0. Отсюда получаем нижнюю границу [math]-\frac{\pi}6[/math].

AlSolo писал(а):
Приравниваю к нулю, что бы найти угол, а му меня все сокращается


Я никогда не говорил, что для нахождения угла нужно что-то обязательно приравнивать к нулю (так получилось в предыдущей задаче, но это не значит, что так будет всегда). Границы определяются предельными положениями луча, при которых он уже не "залезает" на область. А как именно их определять - зависит от конкретной ситуации.

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 20:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Human
по поводу "a" я описался, забыл исправить, извиняюсь. А так большое спасибо, за объяснения.

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 20:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Human
Хм.. а можно же проще угол посчитать. От центра окружности провести нормаль к прямой(касательной окружности), т.е. как только она начинает заходить в окружность. Радиус известен, гипотенуза тоже, следовательно и угол будет 30 градусов.

Автор:  Human [ 07 окт 2012, 20:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

AlSolo писал(а):
Хм.. а можно же проще угол посчитать. От центра окружности провести нормаль к прямой(касательной окружности), т.е. как только она начинает заходить в окружность. Радиус известен, гипотенуза тоже, следовательно и угол будет 30 градусов.


Пожалуйста, можно и так.

Что касается второй задачи, то там лучше переходить к обобщённым сферическим координатам: [math]x=ar\sin\theta\cos\varphi,\ y=br\sin\theta\sin\varphi,\ z=cr\cos\theta[/math]. Границы по углам и [math]r[/math] определите сами. Ну и якобиан не забудьте посчитать.

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 21:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

[math]\left\{\!\begin{aligned}& {x=asin \theta cos \varphi} \\& {y=bsin\theta sin\varphi} \\& { z=ccos\theta} \end{aligned}\right. , \left| I \right|=abcr^{2}sin\theta . \Rightarrow dxdydz=abcr^{2}sin\theta dpd \varphi d\theta
\iiint\limits_{T}dxdydz=\iiint\limits_{T'}abcr^{2}sin\theta drd \varphi d\theta =8abc\int\limits_{0}^{\pi /2}d\varphi \int\limits_{0}^{1}r^{2}dr \int\limits_{0}^{\pi /2}sin\theta d\theta = 4/3\pi abc[/math]

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 21:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

То, что выше, верно?

Автор:  Human [ 07 окт 2012, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Ответ верный, но меня интересует, откуда выскочила восьмёрка, и почему пределы в интеграле такие? Это Вы типа проинтегрировали по [math]\frac18[/math] части эллипсоида?

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 21:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Human, да. Т.к. эллипсоид у нас симметричен относительно оси Х и оси У, то можно посчитать только одну часть, которая лежит в первой октанте и умножить на 8.

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 22:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

И последняя задача. Изображение
[math]\oint\limits_{C}(x^{2}+y)dx +(xy-2x^2{2})dy=\begin{vmatrix}
P=x^{2}+y \\Q=xy-2x^{2}
\end{vmatrix}= \iint\limits_{D}(Q'_{x}-P'_{y})dxdy=\int\limits_{0}^{1} dx\int\limits_{0}^{1-x^{2}}(y-4x-1)dy=\int\limits_{0}^{1} \left.{ ( \frac{ y^{2} }{ 2 }- 4xy-y) }\!\right|_{ 0 }^{ 1-x^{2} }=[/math]

[math]\int\limits_{0}^{1}( \frac{ (1-x^{2})^{2} }{ 2 }-4x+4x^{3}-1+x^{2} )dx=\left.{ (- \frac{ x }{ 2 }-2x{2}+x^{4}+ \frac{ x^{5} }{ 10 } ) }\!\right|_{0 }^{ 1 } = -\frac{ 7 }{ 5 }[/math]

Страница 3 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/