Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Правильно ли я решил задачи ?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=18465
Страница 1 из 4

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 14:08 ]
Заголовок сообщения:  Правильно ли я решил задачи ?

1.В повторном интеграле
[math]\int\limits_{0}^{4}dx\int\limits_{2-\sqrt{8-(x-2)^{2}}}^{\sqrt{4x-x^{2}}} f(x,y)dy[/math]

a) Изменить порядок интегрирования
б) перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования по новым переменным

2.Вычислить [math]\iint\limits_{T}dxdydz[/math], где Т ограничена поверхностью [math]\frac{ x^{2} }{ a^{2} } + \frac{ y^{2} }{ b^{2} } + \frac{ z^{2} }{ c^{2} } =1[/math]

3. Вычислить криволинейные интеграл [math]\oint\limits_{C}(x^{2}+y)dx + (xy-2x^{2})dy[/math] по контуру С, образованному линиями [math]y=1-x^{2}, x=0, y=0 (x>0,y>0)[/math].

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 14:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Начну с первой. Рисунок графика Изображение

Решение:

[math]\int\limits_{0}^{2}dy\int\limits_{2-\sqrt{4-y^{2}}}^{2+\sqrt{4-y^{2}}}f(x,y)dx+\int\limits_{2-\sqrt{8}}^{0}dy\int\limits_{2-\sqrt{8-(y-2)^{2}}}^{2+\sqrt{8-(y-2)^{2}}}f(x,y)dx=\begin{vmatrix}
x=rcos \varphi \\y=rsin \varphi
\end{vmatrix}= \int\limits_{0}^{\pi /2} d\varphi \int\limits_{0}^{4} f(rsos \varphi , rsin \varphi )rdr + \int\limits_{-\pi /2}^{0} d\varphi \int\limits_{0}^{4} f(rsos \varphi , rsin \varphi )rdr[/math]

Автор:  Human [ 07 окт 2012, 14:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Порядок интегрирования изменили верно, а вот к полярным координатам перешли неверно. Точнее даже не просто неверно, а...вообще неверно.
Как будут выглядеть функции в задаче в полярной системе координат?

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 15:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Human
ХЯ не понимаю перевода из декартовой в полярную. Можете объяснить ? Уже не первый раз здесь пишу, что не понимаю как. Надеюсь на вашу помощь.

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 15:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Human
У верхней окружности будет [math]r=4cos\varphi[/math], а у нижней [math]r=4(sin\varphu+cos\varphi)[/math]

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 15:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Human
А вот как дальше, я не знаю.

Автор:  Human [ 07 окт 2012, 15:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Как Вы определяете границы области в декартовых координатах? Вы по сути проводите координатную линию для одной из переменной, двигаете её вдоль координатной линии другой переменной и смотрите, между какими функциями эта линия зажата. Например, в Вашем случае координатная линия для [math]y[/math] имеет вид [math]x=a[/math]. Если [math]a[/math] меняется от 0 до 4, то эта координатная линия оказывается зажата сверху графиком функции [math]\sqrt{4x-x^{2}}[/math] и снизу графиком функции [math]2-\sqrt{8-(x-2)^{2}}[/math], при этом линия проходит по всей области. Отсюда получаются границы [math]0\leqslant x\leqslant4,\ 2-\sqrt{8-(x-2)^{2}}\leqslant y\leqslant\sqrt{4x-x^{2}}[/math].

Аналогично делается и в полярных координатах, только там координатные линии имеют другой вид: для [math]r[/math] это лучи, выходящие из начальной точки во все стороны, а для [math]\varphi[/math] это концентрические окружности. Предположим, Вы проводите луч [math]\varphi=a[/math]. Если [math]a[/math] меняется от 0 до [math]\frac{\pi}2[/math], то луч оказывается зажат между нулём и точками графика функции [math]r=4\cos\varphi[/math] (молодцом, что нашли это за меня), при этом он проходит по верхней половине области. Значит границы для неё такие: [math]0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}2,\ 0\leqslant r\leqslant4\cos\varphi[/math].

Для нижней половины попробуйте найти границы самостоятельно.

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 15:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Т.е. будет [math]\int\limits_{0}^{\pi /2}d \varphi \int\limits_{0}^{4cos\varphi} f(rcos\varphi, rsin\varphi)rdr +
\int\limits_{-\pi /2}^{0}d \varphi \int\limits_{0}^{4(sin\varphi +cos\varphi)} f(rcos\varphi, rsin\varphi)rdr[/math]

Автор:  Human [ 07 окт 2012, 16:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Нижняя граница для [math]\varphi[/math] определена неверно: функция [math]4(\sin\varphi+\cos\varphi)[/math], как видно из графика, должна на ней обращаться в нуль.

Автор:  AlSolo [ 07 окт 2012, 16:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильно ли я решил задачи ?

Human
Но угол то у нас меняется от [math]-\pi /2 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi[/math]

Страница 1 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/