Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интегральное (12)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=18443
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 06 окт 2012, 05:36 ]
Заголовок сообщения:  Интегральное (12)

[math]\displaystyle \int\frac{1}{(5+4\cos x)^2}dx[/math]

Автор:  dr Watson [ 06 окт 2012, 07:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегральное (12)

[math]t=\text{tg}\frac{x}{2}[/math]

Автор:  Avgust [ 06 окт 2012, 08:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегральное (12)

So:

[math]I=-\frac{2}{27}\bigg [ 5 \operatorname{arctg}\big ( 3 \operatorname{ctg}\,\frac x2\big )+\frac{6 \sin \,x}{5+4 \cos \, x}\bigg ]+C[/math]

Автор:  jagdish [ 07 окт 2012, 14:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегральное (12)

Thanks Dr. Watson and Avgust, I have solved like this way.

Let [math]\displaystyle\bf{I=\frac{\sin x}{5+4\cos x}}\;[/math], Then

[math]\displaystyle\bf{\frac{dI}{dx}=\frac{(5+4\cos x).(\cos x)-\sin x.(-4\sin x)}{(5+4\cos x)^2}}[/math]

[math]\displaystyle\bf{\frac{dI}{dx}=\frac{5\cos x+4}{(5+4\cos x)^2}=\frac{5}{4}.\frac{(4\cos x+5)}{(5+4\cos x)^2}+\left(4-\frac{25}{4}\right).\frac{1}{(5+4\cos x)^2}}[/math]

[math]\displaystyle\bf{\frac{dI}{dx}=\frac{5}{4}.\frac{1}{(5+4\cos x)}-\frac{9}{4}.\frac{1}{(5+4\cos x)^2}}[/math]

[math]\displaystyle\bf{\int\frac{dI}{dx}dx=\frac{5}{4}\int\frac{1}{(5+4\cos x)}dx-\frac{9}{4}\int\frac{1}{(5+4\cos x)^2}dx}[/math]

[math]\displaystyle\bf{\int\frac{1}{(5+4\cos x)^2}dx = \frac{5}{9}\int\frac{1}{5+4\cos x}dx-\frac{4}{9}.I}[/math]

Now Let [math]\displaystyle\bf{J=\int\frac{1}{5+4\cos x}dx}[/math]

Put [math]\displaystyle\bf{\cos x = \frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}}[/math]

[math]\displaystyle\bf{J=\int\frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{9+\tan^2 \frac{x}{2}}dx}[/math]

Now Put [math]\displaystyle\bf{\tan \frac{x}{2}=t\Leftrightarrow \sec^2 \frac{x}{2}dx = 2tdt}[/math]

[math]\displaystyle\bf{J=2\int\frac{1}{3^2+t^2}dt = \frac{2}{3}\tan^{-1}\left(\frac{t}{3}\right)}[/math]

[math]\displaystyle\bf{J=\frac{2}{3}\tan^{-1}\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{3}\right)}[/math]

So [math]\displaystyle\bf{\int\frac{1}{(5+4\cos x)}dx = \frac{10}{27}\tan^{-1}\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{3}\right)-\frac{4}{9}\left(\frac{\sin x}{5+4\cos x}\right)+C}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/