| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интегральное (12) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=18443 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | jagdish [ 06 окт 2012, 05:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Интегральное (12) |
[math]\displaystyle \int\frac{1}{(5+4\cos x)^2}dx[/math] |
|
| Автор: | dr Watson [ 06 окт 2012, 07:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегральное (12) |
[math]t=\text{tg}\frac{x}{2}[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 06 окт 2012, 08:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегральное (12) |
So: [math]I=-\frac{2}{27}\bigg [ 5 \operatorname{arctg}\big ( 3 \operatorname{ctg}\,\frac x2\big )+\frac{6 \sin \,x}{5+4 \cos \, x}\bigg ]+C[/math] |
|
| Автор: | jagdish [ 07 окт 2012, 14:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегральное (12) |
Thanks Dr. Watson and Avgust, I have solved like this way. Let [math]\displaystyle\bf{I=\frac{\sin x}{5+4\cos x}}\;[/math], Then [math]\displaystyle\bf{\frac{dI}{dx}=\frac{(5+4\cos x).(\cos x)-\sin x.(-4\sin x)}{(5+4\cos x)^2}}[/math] [math]\displaystyle\bf{\frac{dI}{dx}=\frac{5\cos x+4}{(5+4\cos x)^2}=\frac{5}{4}.\frac{(4\cos x+5)}{(5+4\cos x)^2}+\left(4-\frac{25}{4}\right).\frac{1}{(5+4\cos x)^2}}[/math] [math]\displaystyle\bf{\frac{dI}{dx}=\frac{5}{4}.\frac{1}{(5+4\cos x)}-\frac{9}{4}.\frac{1}{(5+4\cos x)^2}}[/math] [math]\displaystyle\bf{\int\frac{dI}{dx}dx=\frac{5}{4}\int\frac{1}{(5+4\cos x)}dx-\frac{9}{4}\int\frac{1}{(5+4\cos x)^2}dx}[/math] [math]\displaystyle\bf{\int\frac{1}{(5+4\cos x)^2}dx = \frac{5}{9}\int\frac{1}{5+4\cos x}dx-\frac{4}{9}.I}[/math] Now Let [math]\displaystyle\bf{J=\int\frac{1}{5+4\cos x}dx}[/math] Put [math]\displaystyle\bf{\cos x = \frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}}[/math] [math]\displaystyle\bf{J=\int\frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{9+\tan^2 \frac{x}{2}}dx}[/math] Now Put [math]\displaystyle\bf{\tan \frac{x}{2}=t\Leftrightarrow \sec^2 \frac{x}{2}dx = 2tdt}[/math] [math]\displaystyle\bf{J=2\int\frac{1}{3^2+t^2}dt = \frac{2}{3}\tan^{-1}\left(\frac{t}{3}\right)}[/math] [math]\displaystyle\bf{J=\frac{2}{3}\tan^{-1}\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{3}\right)}[/math] So [math]\displaystyle\bf{\int\frac{1}{(5+4\cos x)}dx = \frac{10}{27}\tan^{-1}\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{3}\right)-\frac{4}{9}\left(\frac{\sin x}{5+4\cos x}\right)+C}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|