Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на сходимость несобственный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17973
Страница 1 из 2

Автор:  Weerd [ 31 авг 2012, 09:51 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Делал домашнее задание по дифурам, осталось два примера.
Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

1) [math]\int\limits_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt[3]{(8-x^3)^4}}\,dx[/math]

2) [math]\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{\ln{x}}{\sqrt{x^4-1}}\,dx[/math]

Помогите пожалуйста.

Автор:  arkadiikirsanov [ 31 авг 2012, 10:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Первый - расходится по признаку сравнения, а второй - сходится по признаку сравнения.

Автор:  Weerd [ 31 авг 2012, 10:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость несобственный интеграл

А можно решение?
Хотелось бы понять

Автор:  arkadiikirsanov [ 31 авг 2012, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Я решений не пишу. Задачи задали вам, ход решения я вам подсказал. Если давать готовые решения. то что останется вам - просто переписать их в тетрадь? Это уже не обучение, а профанация.

Автор:  Weerd [ 31 авг 2012, 10:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Спасибо

Автор:  Weerd [ 31 авг 2012, 10:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Кто может напишите решение

Автор:  Alexdemath [ 31 авг 2012, 23:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Weerd писал(а):
Делал домашнее задание по дифурам, осталось два примера.
Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
2) [math]\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{\ln{x}}{\sqrt{x^4-1}}\,dx[/math]
Помогите пожалуйста.

Можно оценить "сверху", что в данном случае несложно.

Так как при [math]x \geqslant 2[/math], очевидно, справедливы неравенства:

[math]0 \leqslant \frac{\ln x}{\sqrt{x^4 - 1}}\leqslant \frac{\ln x}{\sqrt{x^4-x^3}} = \frac{\ln x}{x^{3/2}\sqrt{x-1}}\leqslant \frac{\ln x}{x^{3/2}}[/math], а интеграл [math]\int\limits_2^{+\infty}\frac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx[/math] сходится, поскольку

[math]\begin{aligned}\int\limits_2^{+\infty}\frac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx &= -2\lim_{b\to+\infty} \int\limits_2^b \ln x\,d\!\left(\frac{1}{\sqrt x}\right)= -2\lim_{b\to+\infty}\!\Biggl(\left.{\frac{\ln x}{\sqrt x}\right|_0^b- \int\limits_2^b \frac{dx}{x^{3/2}}\,dx\Biggr)=\\ &=-2\lim_{b\to+\infty}\!\left( {\left. {\frac{\ln x}{\sqrt x}} \right|_0^b+ \left.{\frac{2}{\sqrt x}} \right|_0^b} \right) = \left.{-2\lim_{b\to+\infty} \frac{\ln x + 2}{\sqrt x}} \right|_0^b=\\ &=-2\lim_{b\to+\infty}\! \left(\frac{\ln b + 2}{\sqrt b}- \frac{\ln 2+2}{\sqrt 2}\right) = \ldots= (\ln2+2)\sqrt2\end{aligned}[/math]

то, следовательно, согласно признаку сравнения, сходится и исходный интеграл.

Автор:  Alexdemath [ 01 сен 2012, 11:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Weerd писал(а):
Делал домашнее задание по дифурам, осталось два примера.
Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
1) [math]\int\limits_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt[3]{(8-x^3)^4}}\,dx[/math]
Помогите пожалуйста.

Не вижу, с чем, очевидно, можно сравнить. Нужно узнать у arkadiikirsanov.
Я бы так доказал расходимость.
Так как, очевидно, интеграл на [math][0;1)[/math] сходится, то отбросим этот интервал.

Оценим снизу подынтегральную функцию при [math]1 \leqslant x < 2[/math]:

[math]\begin{aligned}\frac{x}{(8-x^3)^{4/3}} &= \frac{x}{(2-x)^{4/3}(x^2 + 2x + 4)^{4/3}}\geqslant\\ &\geqslant \frac{x}{(2-x)^{4/3}((2+x)^2)^{4/3}}= \frac{x}{(4-x^2)^{4/3}(2 + x)^{4/3}}\geqslant\\ &\geqslant \frac{x}{(4 - x^2)^{4/3}(2x+x)^{4/3}}= \frac{1}{3^{4/3}}\frac{1}{x^{1/3}(4-x^2)^{4/3}} \geqslant 0 \end{aligned}[/math]

но интеграл [math]\textstyle{\int\limits_1^2 \frac{dx}{x^{1/3}(4-x^2)^{4/3}}}[/math] расходится, поскольку

[math]\begin{aligned}\int\limits_1^2 \frac{dx}{x^{1/3}(4-x^2)^{4/3}}&= \lim_{\varepsilon\to0} \int\limits_1^{2-\varepsilon}\frac{x^{- 3}\,dx}{(4x^{-2}-1)^{4/3}}= -\frac{1}{8}\lim_{\varepsilon\to0} \int\limits_1^{2-\varepsilon} (4x^{-2}-1)^{-4/3}\,d(4x^{-2}- 1)=\\ &= \left. {-\frac{1}{8}\lim_{\varepsilon\to0} \frac{(4x^{-2}-1)^{1-4/3}}{1-4/3}}\right|_1^{2-\varepsilon}= \left.{\frac{3}{8}\lim_{\varepsilon\to0}{\!\left(\frac{4}{x^2}-1\right)\!}^{-1/3}}\right|_1^{2-\varepsilon}=\\ &= \frac{3}{8}\lim_{\varepsilon\to0} \left(\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{4}{(2-\varepsilon)^2}-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)= +\infty\end{aligned}[/math]

Следовательно, расходится и исходный интеграл.

Автор:  arkadiikirsanov [ 03 сен 2012, 10:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Alexdemath писал(а):
Weerd писал(а):
Делал домашнее задание по дифурам, осталось два примера.
Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
1) [math]\int\limits_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt[3]{(8-x^3)^4}}\,dx[/math]
Помогите пожалуйста.

Не вижу, с чем, очевидно, можно сравнить. Нужно узнать у arkadiikirsanov.
..........

Разве здесь есть о чем думать? Очевидно, что вблизи двойки выражение

[math]\frac{x}{(8-x^3)^{4/3}}[/math] эквивалентно выражению
[math]\frac{2}{(2-x)^{4/3}(12)^{4/3}}[/math], и по признаку сравнения со степенной функцией интеграл расходится.

Автор:  Alexdemath [ 03 сен 2012, 19:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость несобственный интеграл

arkadiikirsanov

Спасибо. Но вот циферки, для меня. не очевидны :oops:

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/