| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17934 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | lexus666 [ 22 авг 2012, 23:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Интеграл |
Здравствуйте уважаемые форумчане! Нужен дельный совет по такому интегралу: [math]\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin^2{x}\cos{x}}{(1-a\cos{x})^2}\left(\frac{\sin{x}}{1-a\cos{x}}\right)^{2n}dx[/math] где, [math]n\in N,0<a<1[/math]. Собственно вопрос, выражается ли он через элементарные функции или какую нибудь спец функцию? Может быть я просто туплю и все элементарно? Спасибо. |
|
| Автор: | Avgust [ 23 авг 2012, 00:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Beretsia tol'ko chislenno pri konkretnix a i n Naprimer, pri a=0.5 and n=1 integral=0.6696 |
|
| Автор: | Prokop [ 23 авг 2012, 08:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Попробуйте использовать теорию вычетов. |
|
| Автор: | lexus666 [ 23 авг 2012, 10:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Спасибо за ответы. Avgust к сожалению численно не вариант, т. к. мне нужно знать явную зависимость интеграла от этих параметров. Prokop я думал использовать вычеты, но меня смутил тот факт, что функция продолжаемая на комплексную плоскость получается не однозначной. Какой контур Вы посоветуете взять? И как продолжить функцию? |
|
| Автор: | Prokop [ 23 авг 2012, 13:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
В силу чётности подынтегральной функции, исходный интеграл равен половине интеграла по промежутку длины [math]2\pi[/math]. Далее выполняется замена, сводящая задачу к вычислению интеграла по окружности единичного радиуса. [math]I=\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\!\left(\frac{\sin x}{1- a\cos x}\right)^{2(n+1)}\cos x\,dx= \Bigl\{e^{ix}= z}\Bigr\}= \frac{(-1)^{n + 1}}{4ia^{2(n+1)}} \oint\limits_{|z|=1}\!\left(\frac{z^2-1}{z^2-\frac{2}{a}z+1}\right)^{2(n+1)} \frac{z^2+1}{z^2}\,dz[/math] При [math]0<a<1[/math] внутри контура расположен один полюс второго прядка в начале координат. |
|
| Автор: | lexus666 [ 23 авг 2012, 13:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Prokop Обалдеть..., как все просто!!! Я заменял косинус за новую переменую и переходил на комплексную плоскость. Огромное спасибо! |
|
| Автор: | lexus666 [ 23 авг 2012, 16:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Prokop писал(а): ...внутри контура расположен один полюс второго прядка в начале координат. а Вы случайно не ошиблись? Ведь, например, если [math]a=0,5[/math] внутрь контура попадает еще и точка [math]z_0=2-\sqrt{3}[/math]? Вы редко ошибаетесь, поэтому я решил переспросить. |
|
| Автор: | Prokop [ 23 авг 2012, 19:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
lexus666 Вы правы. Есть ещё один полюс. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|