Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17934
Страница 1 из 1

Автор:  lexus666 [ 22 авг 2012, 23:12 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

Здравствуйте уважаемые форумчане!

Нужен дельный совет по такому интегралу:

[math]\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin^2{x}\cos{x}}{(1-a\cos{x})^2}\left(\frac{\sin{x}}{1-a\cos{x}}\right)^{2n}dx[/math]

где, [math]n\in N,0<a<1[/math]. Собственно вопрос, выражается ли он через элементарные функции или какую нибудь спец функцию?
Может быть я просто туплю и все элементарно?

Спасибо.

Автор:  Avgust [ 23 авг 2012, 00:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Beretsia tol'ko chislenno pri konkretnix a i n

Naprimer, pri a=0.5 and n=1 integral=0.6696

Автор:  Prokop [ 23 авг 2012, 08:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Попробуйте использовать теорию вычетов.

Автор:  lexus666 [ 23 авг 2012, 10:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Спасибо за ответы.
Avgust
к сожалению численно не вариант, т. к. мне нужно знать явную зависимость интеграла от этих параметров.

Prokop
я думал использовать вычеты, но меня смутил тот факт, что функция продолжаемая на комплексную плоскость получается не однозначной.
Какой контур Вы посоветуете взять? И как продолжить функцию?

Автор:  Prokop [ 23 авг 2012, 13:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

В силу чётности подынтегральной функции, исходный интеграл равен половине интеграла по промежутку длины [math]2\pi[/math]. Далее выполняется замена, сводящая задачу к вычислению интеграла по окружности единичного радиуса.

[math]I=\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\!\left(\frac{\sin x}{1- a\cos x}\right)^{2(n+1)}\cos x\,dx= \Bigl\{e^{ix}= z}\Bigr\}= \frac{(-1)^{n + 1}}{4ia^{2(n+1)}} \oint\limits_{|z|=1}\!\left(\frac{z^2-1}{z^2-\frac{2}{a}z+1}\right)^{2(n+1)} \frac{z^2+1}{z^2}\,dz[/math]

При [math]0<a<1[/math] внутри контура расположен один полюс второго прядка в начале координат.

Автор:  lexus666 [ 23 авг 2012, 13:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Prokop
Обалдеть..., как все просто!!! Я заменял косинус за новую переменую и переходил на комплексную плоскость.

Огромное спасибо!

Автор:  lexus666 [ 23 авг 2012, 16:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Prokop писал(а):
...внутри контура расположен один полюс второго прядка в начале координат.


а Вы случайно не ошиблись? Ведь, например, если [math]a=0,5[/math] внутрь контура попадает еще и точка

[math]z_0=2-\sqrt{3}[/math]?

Вы редко ошибаетесь, поэтому я решил переспросить.

Автор:  Prokop [ 23 авг 2012, 19:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

lexus666 Вы правы. Есть ещё один полюс.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/