Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Построить тело и вычислить его объём с помощью интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17920
Страница 1 из 1

Автор:  ronald13 [ 21 авг 2012, 14:33 ]
Заголовок сообщения:  Построить тело и вычислить его объём с помощью интеграла

Помогите, пожалуйста построить данное тело и найти объем:

[math]z = y^2, \quad z - 2 + y^2 = 0, \quad x = 0, \quad x = 4.[/math]

Автор:  Alexdemath [ 21 авг 2012, 15:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела

Решая систему из первых двух уравнений, найдёте [math]y_{1,2}=\pm1[/math].
Следовательно, множество точек (обозначим через [math]T[/math]), которые ограничивают данные поверхности, есть

[math]T= \Bigl\{0\leqslant x\leqslant 4,~ -1\leqslant y\leqslant 1,~ y^2\leqslant z\leqslant 2-y^2\Bigr\}[/math]

Тогда искомый объём можно найти с помощью тройного интеграла:

[math]\begin{aligned}V &= \iiint\limits_T dxdydz = \int\limits_0^4 {dx} \int\limits_{ - 1}^1 dy \int\limits_{y^2}^{2 - y^2}dz= 4\int\limits_{ - 1}^1 \bigl(2-y^2-y^2\bigr)dy= 8\int\limits_{ - 1}^1 \bigl(1 - y^2\bigr)dy= \\ &=16\int\limits_0^1 \bigl(1 - y^2\bigr)dy= \left. {16\!\left(y-\frac{y^3}{3}\right)} \right|_0^1 = 16\!\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{3}\end{aligned}[/math]

Вот чертёж данного тела в прямоугольной системе координат

Тело, образованное, двумя параболическими цилиндрами

Автор:  vvvv [ 21 авг 2012, 23:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить тело и вычислить его объём с помощью интеграла

Поскольку имеем цилиндр с высотой H=4, то его объем равен площади основания умноженной на высоту.Площадь основания считаем с пом.двойного интеграла
см.картинку.

Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/