Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на сходимость))))
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17720
Страница 1 из 1

Автор:  mozhik [ 19 июн 2012, 23:40 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на сходимость))))

Друзья помогите, подскажите пожалуйста каким признакам (сравнения, Абеля, Дирихле) можно исследовать данные интегралы: Изображение

Автор:  mozhik [ 19 июн 2012, 23:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость))))

1) Признак сравнения , так как lnx/sqrt(x^3+3) >1/sqrt(x^3+3) Достаточно исследовать вот этот интеграл 1/sqrt(x^3+3) Так?

2) И второй интеграл решается с помощью признак сравнения)))????? так?

Автор:  Alexdemath [ 20 июн 2012, 01:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость))))

mozhik писал(а):
1) Признак сравнения, так как lnx/sqrt(x^3+3) >1/sqrt(x^3+3) Достаточно исследовать вот этот интеграл 1/sqrt(x^3+3) Так?

Почитайте внимательно о признаке сравнения.
Так как, очевидно, на луче [math][1;+\infty)[/math] справедливы неравенства

[math]0 \leqslant \frac{\ln x}{\sqrt{x^3+3}} \leqslant \frac{\ln x}{\sqrt{x^3}}= x^{-3/2}\ln x[/math]

то, следовательно, будут выполняться и неравенства

[math]0\leqslant \int\limits_1^{+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x^3+3}}\,dx \leqslant \int\limits_1^{+\infty}x^{-3/2}\ln x\,dx[/math]

но второй интеграл сходится, поскольку

[math]\begin{aligned}\int\limits_1^{+\infty} x^{-3/2}\ln x\,dx &= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b \ln x\,d(-2x^{-1/2})= \lim_{b\to+\infty}\Biggl(\Bigl.{- 2x^{-1/2}\ln x} \Bigr|_1^b + 2\int\limits_1^b {\frac{x^{-1/2}}{x}\,dx \Biggr) =\\ &= \lim_{b\to+\infty}\Biggl(\left.{ - 2x^{-1/2}\ln x} \right|_1^b + 2\int\limits_1^b x^{-3/2}\,dx\Biggr)= \lim_{b\to+\infty}\!\left( {\Bigl.{- 2x^{-1/2}\ln x} \Bigr|_1^b - \Bigl. {4x^{-1/2}} \Bigr|_1^b} \right)= \\ &= \left. {-2\lim_{b\to+\infty} \frac{{\ln x + 2}}{\sqrt x}} \right|_1^b = - 2\lim_{b \to + \infty }\!\left(\frac{\ln b + 2}{\sqrt b} - \frac{\ln 1 + 2}{\sqrt 1} \right) = \ldots=4 \end{aligned}[/math]

Итак, согласно первому признаку сравнения, исходный интеграл сходится.

Автор:  Alexdemath [ 20 июн 2012, 02:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость))))

Второй интеграл:

поскольку [math]\max_{x\in\left[\frac{2}{3};1\right]}\operatorname{tg}{\frac{1}{x}} =\operatorname{tg}{\frac{3}{2}}[/math], то на отрезке [math]\left[\frac{2}{3};1\right][/math], очевидно, будут справедливы неравенства:

[math]0 \leqslant \frac{{\operatorname{tg}\dfrac{1}{x}}}{\sqrt{1-x^2}}\leqslant \frac{\operatorname{tg}\dfrac{3}{2}}{\sqrt{1-x^2}}[/math] и, следовательно, выполняться и неравенства:

[math]0\leqslant \int\limits_{2/3}^1 \frac{\operatorname{tg}\dfrac{1}{x}}{\sqrt {1- x^2}}\,dx \leqslant \operatorname{tg} \frac{3}{2}\int\limits_{2/3}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \ldots = \operatorname{tg}\frac{3}{2}\left(\frac{\pi }{2} - \arcsin \frac{2}{3}\right)\approx 11,\!86[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/