Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 09:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вы уверены, что второй интеграл - несобственный (то есть, подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки [math]\pi[/math] ) ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
lampard
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 09:12 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
arkadiikirsanov писал(а):
А вы уверены, что второй интеграл - несобственный (то есть, подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки [math]\pi[/math] ) ?


Ой, а ведь и правда. Используя правило Лопиталя, приходим к выводу, что в окрестности "пи" функция ограничена, а значит, там нет "несобственности". ТОгда все ясно с первой задачей.

А во второй ( я про [math]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{|x|}}dx[/math] ) в окрестности нуля подынтегральная функция точно не ограничена... Как быть?


Последний раз редактировалось lampard 18 июн 2012, 09:31, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 09:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Воспользоваться признаком сравнения и эталонным интегралом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
lampard
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 09:37 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
arkadiikirsanov писал(а):
Воспользоваться признаком сравнения и эталонным интегралом.


Тут вот в чем дело. Если разбить на 3 интеграла, то

[math]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{|x|}}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{1}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{-x}}dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{|x|}}dx+\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{x}}dx[/math]

То интеграл [math]\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{|x|}}dx\leqslant \displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx[/math]

А так как [math]\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx[/math] сходится, то сходится и [math]\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{|x|}}dx[/math]

А вот с этим сложнее [math]\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{x}}dx[/math]

Так как сравнение [math]\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{x}}dx[/math] с [math]\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx[/math] -- ничего не дает. Как быть?

Или именно здесь признак Дирихле -- в самый раз?

И еще, действительно ли в первой задаче Дирихле подойдет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 09:58 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первой задаче достаточно признака сравнения, а во второй попробуйте сделать замену [math]x=\ln{t}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
lampard
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 10:07 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
arkadiikirsanov писал(а):
В первой задаче достаточно признака сравнения, а во второй попробуйте сделать замену [math]x=\ln{t}[/math]


[math]\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{x}}dx=\displaystyle\int_{e}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t\sqrt{\ln t}}dt[/math]

[math]\displaystyle\int_{e}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t\sqrt{\ln t}}dt\leqslant \displaystyle\int_{e}^{+\infty}\frac{1}{t\sqrt{\ln t}}dt[/math] (но такое сравнение, вроде как ничего не дает...

Про первую задачу:

[math]\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}dx\leqslant \displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{1}{x^2-\pi^2}dx[/math]

Но ведь [math]\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{1}{x^2-\pi^2}dx[/math] расходится

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 12:42 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
(но такое сравнение, вроде как ничего не дает - тк ряд которым оценивали сверху - расходится)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 15:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lampard писал(а):
arkadiikirsanov писал(а):
В первой задаче достаточно признака сравнения, а во второй попробуйте сделать замену [math]x=\ln{t}[/math]


[math]\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{x}}dx=\displaystyle\int_{e}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t\sqrt{\ln t}}dt[/math]

[math]\displaystyle\int_{e}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t\sqrt{\ln t}}dt\leqslant \displaystyle\int_{e}^{+\infty}\frac{1}{t\sqrt{\ln t}}dt[/math] (но такое сравнение, вроде как ничего не дает...


Во-первых, нельзя применять признаки сравнения к интегралам со знакопеременными функциями, во-вторых, после замены нужно использовать признак Дирихле.
В первой задаче нужно сначала отступить вправо от "пи", а уж потом применять признак сравнения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 18:02 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
arkadiikirsanov писал(а):
Во-первых, нельзя применять признаки сравнения к интегралам со знакопеременными функциями, во-вторых, после замены нужно использовать признак Дирихле.
В первой задаче нужно сначала отступить вправо от "пи", а уж потом применять признак сравнения.


[math]\displaystyle\int_{e}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t\sqrt{\ln t}}dt[/math]

[math]\displaystyle\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t\sqrt{\ln t}=0[/math]

[math]|\sin(t)|\leqslant 1[/math]

Используя признак Дирихле, приходим к выводу, что интеграл сходится

Цитата:
В первой задаче нужно сначала отступить вправо от "пи", а уж потом применять признак сравнения


А почему нужно оступать вправо от пи? Что значит отступить? То есть вот так?

[math]\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}=\displaystyle\int_{\pi}^{5}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}+\displaystyle\int_{5}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 18:55 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Потому что

[math]\int\limits_{\pi}^{+\infty}\frac{dx}{x^2-\pi^2}=+\infty[/math], но [math]\int\limits_{5}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}\,dx\leqslant \int\limits_{5}^{+\infty}\frac{dx}{x^2-\pi^2}=\frac{1}{2\pi}\ln\frac{5+\pi}{5-\pi}[/math],

так как [math]0 \leqslant \frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2} \leqslant \frac{1}{x^2-\pi^2}[/math] при [math]x\in[5;+\infty)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
lampard
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  След.  Страница 2 из 3 [ Сообщений: 22 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

179

01 ноя 2021, 09:11

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

207

01 ноя 2021, 09:13

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость послед

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

STARKENNY

1

749

27 дек 2015, 11:45

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

2

220

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

195

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

185

01 ноя 2021, 09:12

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд

в форуме Объявления участников Форума

neotouch

5

448

08 дек 2022, 15:35

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

stanleykubrick

2

208

07 фев 2020, 00:35

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ArinaGross

0

240

21 дек 2018, 12:19

Ряд на сходимость

в форуме Ряды

ExtreMaLLlka

7

645

25 май 2015, 09:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved