Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17707
Страница 1 из 3

Автор:  lampard [ 17 июн 2012, 21:33 ]
Заголовок сообщения:  Сходимость

1) [math]\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{|x^2-\pi^2|}[/math]

Размышления

[math]\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{|x^2-\pi^2|}=\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}+\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}[/math]

Ели рассмотреть

[math]I_1=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}[/math], то он сходится по Дирихле.

Ели рассмотреть следующий интеграл, то не ясно - что с ним можно сделать. Да, синус ограничен, но ...

[math]I_2=\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}[/math]


2) [math]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{|x|}}dx[/math]

Размышления

[math]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{|x|}}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{-x}}dx+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{x}}dx[/math]

Мне кажется, что тут они оба по Дирихле сходятся, но вот особенность в нуле настораживает.

Автор:  Avgust [ 17 июн 2012, 22:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость

Изображение

Автор:  lampard [ 17 июн 2012, 22:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость

Avgust писал(а):
Изображение


Спасибо, значит сходится. Но вот почему, вот в чем вопрос

Автор:  lampard [ 17 июн 2012, 23:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость

Больше всего настораживает поведение в нуле

Автор:  arkadiikirsanov [ 18 июн 2012, 00:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость

lampard писал(а):
Больше всего настораживает поведение в нуле
В нуле ваще беспредел выходит, а уж в [math]e^2[/math] что творится - тушите свет!!! :lol:

Автор:  lampard [ 18 июн 2012, 00:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость

arkadiikirsanov писал(а):
lampard писал(а):
Больше всего настораживает поведение в нуле
В нуле ваще беспредел выходит, а уж в [math]e^2[/math] что творится - тушите свет!!! :lol:


Это я про вторую задачу. В первой смущает поведение на районе у [math]x=\pi^2[/math]

Автор:  lampard [ 18 июн 2012, 02:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость

Ой, даже вот так будет лучше - в первом не ясно --- как доказать, что окрестности [math]x=\pm \pi[/math] не делают бесконечный вклад в интеграл. В лоб не вычислить данный интеграл...

Есть такая идея.[math]\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}\,dx\leqslant \displaystyle\int_0^{\pi}\frac{dx}{x^2-\pi^2}=\infty[/math]

Но это не дает информации

Автор:  Alexdemath [ 18 июн 2012, 03:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость

lampard

А функция [math]f(x)=\frac{\sin^{2} {x} }{|x^2-\pi^2|}[/math] имеет в какой-либо точке на отрезке [math][0;\pi][/math] бесконечный разрыв??

Прочитайте внимательно определение несобственного интеграла второго рода.

Модуль раскрыли неверно, должно быть [math]\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{|x^2-\pi^2|}\,dx=\int\limits_0^{\pi}\frac{\sin^2x}{\boldsymbol{\pi^2-x^2}}\,dx+ \int\limits_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}\,dx[/math]

Да и вообще, как у Вас получилось по Дирихле?

lampard писал(а):
Ели рассмотреть [math]I_1=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}[/math], то он сходится по Дирихле

Автор:  lampard [ 18 июн 2012, 08:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость

Alexdemath писал(а):
lampard

А функция [math]f(x)=\frac{\sin^{2} {x} }{|x^2-\pi^2|}[/math] имеет в какой-либо точке на отрезке [math][0;\pi][/math] бесконечный разрыв??


Да, в точке [math]x=\pi[/math] разрыв второго рода


Alexdemath писал(а):
lampard

Прочитайте внимательно определение несобственного интеграла второго рода.



Сделано

Как раз получается это интеграл второго рода, но нужно объяснить - почему сходится он, в лоб ведь не вычислить его

Автор:  lampard [ 18 июн 2012, 08:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость

Alexdemath писал(а):
lampard
Да и вообще, как у Вас получилось по Дирихле?



Тут ведь две особенности, все-таки лучше разбить на 2 интеграла его.

[math]\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}dx=\displaystyle\int_{\pi}^{5}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}dx+\displaystyle\int_{5}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}dx[/math]

Второй интеграл сходится, так как [math]\sin^2x\leqslant 1[/math], а знаменатель монотонно стремиться к бесконечности.

А с [math]\displaystyle\int_{\pi}^{5}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}dx[/math] пока что все-таки не знаю, ведь его в лоб опять не вычислить

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/