Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл Эйлера-Пуассона
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17674
Страница 1 из 1

Автор:  student-himik [ 16 июн 2012, 11:55 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл Эйлера-Пуассона

Такая оказия, решил подготовиться к экзамену по математике :)
Вот, интеграл Эйлера-Пуассона:
int(e^(-x^2))dx от 0 до inf равен (Пи)^(1/2)/2
А сходный с ним интеграл:
int(x^m*e^(-x^2))dx от 0 до inf чему равен?
Если не сложно подскажите пожалуйста для m = 2k, m = 2k + 1, k = 0,1,...

Автор:  Human [ 16 июн 2012, 12:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл Эйлера-Пуассона

Пусть [math]m>2[/math]. Если проинтегрировать по частям один раз, то получим

[math]\int\limits_0^{+\infty}x^me^{-x^2}\,dx=\left|\begin{gathered}u=x^{m-1}\\dv=xe^{-x^2}\,dx\end{gathered}\right|=\left.-\frac12x^{m-1}e^{-x^2}\right|^{+\infty}_0+\frac{m-1}2\int\limits_0^{+\infty}x^{m-2}e^{-x^2}\,dx=[/math]

[math]=\frac{m-1}2\int\limits_0^{+\infty}x^{m-2}e^{-x^2}\,dx[/math]


То есть получаем рекуррентную формулу: [math]I_m=\int\limits_0^{+\infty}x^me^{-x^2}\,dx=\frac{m-1}2I_{m-2}[/math]

Дальше попробуйте сами.

Автор:  student-himik [ 16 июн 2012, 13:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл Эйлера-Пуассона

А что мне осталось попробовать? Просто подставить для m чётн. и для m нечётн.? :)

Автор:  Human [ 16 июн 2012, 17:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл Эйлера-Пуассона

student-himik писал(а):
А что мне осталось попробовать?


Ну, конечная формула ещё не выведена, я только вывел соотношение, которое связывает интегралы со степенями [math]m[/math], имеющими одинаковую чётность. Вывод конечной формулы я оставляю Вам, ибо несложно догадаться, как она выглядит, а формально строгое её обоснование можно провести методом матиндукции.

Автор:  student-himik [ 17 июн 2012, 04:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл Эйлера-Пуассона

((m-1)!!*Пи)/(m!!*2) при m чётн.,
(m-1)!!/m!! при m нечётн.?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/