| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интеграл Эйлера-Пуассона http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17674 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | student-himik [ 16 июн 2012, 11:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Интеграл Эйлера-Пуассона |
Такая оказия, решил подготовиться к экзамену по математике ![]() Вот, интеграл Эйлера-Пуассона: int(e^(-x^2))dx от 0 до inf равен (Пи)^(1/2)/2 А сходный с ним интеграл: int(x^m*e^(-x^2))dx от 0 до inf чему равен? Если не сложно подскажите пожалуйста для m = 2k, m = 2k + 1, k = 0,1,... |
|
| Автор: | Human [ 16 июн 2012, 12:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл Эйлера-Пуассона |
Пусть [math]m>2[/math]. Если проинтегрировать по частям один раз, то получим [math]\int\limits_0^{+\infty}x^me^{-x^2}\,dx=\left|\begin{gathered}u=x^{m-1}\\dv=xe^{-x^2}\,dx\end{gathered}\right|=\left.-\frac12x^{m-1}e^{-x^2}\right|^{+\infty}_0+\frac{m-1}2\int\limits_0^{+\infty}x^{m-2}e^{-x^2}\,dx=[/math] [math]=\frac{m-1}2\int\limits_0^{+\infty}x^{m-2}e^{-x^2}\,dx[/math] То есть получаем рекуррентную формулу: [math]I_m=\int\limits_0^{+\infty}x^me^{-x^2}\,dx=\frac{m-1}2I_{m-2}[/math] Дальше попробуйте сами. |
|
| Автор: | student-himik [ 16 июн 2012, 13:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл Эйлера-Пуассона |
А что мне осталось попробовать? Просто подставить для m чётн. и для m нечётн.?
|
|
| Автор: | Human [ 16 июн 2012, 17:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл Эйлера-Пуассона |
student-himik писал(а): А что мне осталось попробовать? Ну, конечная формула ещё не выведена, я только вывел соотношение, которое связывает интегралы со степенями [math]m[/math], имеющими одинаковую чётность. Вывод конечной формулы я оставляю Вам, ибо несложно догадаться, как она выглядит, а формально строгое её обоснование можно провести методом матиндукции. |
|
| Автор: | student-himik [ 17 июн 2012, 04:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл Эйлера-Пуассона |
((m-1)!!*Пи)/(m!!*2) при m чётн., (m-1)!!/m!! при m нечётн.? |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|