Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определённый интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17672
Страница 1 из 1

Автор:  Matlamer [ 16 июн 2012, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Определённый интеграл

Тут чисто вызывает затруднение, каким способом его брать. Можно ли его взять обычной формулой или его надо по частям? Или ещё как? Прошу, подскажите поподробнее, потому как в определённых очень слабо разбираюсь. Заранее спасибо.

[math]\int\limits_{-1}^{0} x*e^{-x^2} dx[/math]

Автор:  Yurik [ 16 июн 2012, 10:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

[math]\int\limits_{ - 1}^0 x {e^{ - {x^2}}}dx = - \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {} {e^{ - {x^2}}}d\left( { - {x^2}} \right) = ...[/math]

Автор:  Matlamer [ 16 июн 2012, 10:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

То есть это подведение под знак дифференциала? Ну ладно я бы понял, что делать, если бы пределов не было, а они есть.

Автор:  Yurik [ 16 июн 2012, 10:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

Вот полное решение.
[math]\int\limits_{ - 1}^0 x {e^{ - {x^2}}}dx = - \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {} {e^{ - {x^2}}}d\left( { - {x^2}} \right) = - \left. {\frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}} \right|_{ - 1}^0 = - \frac{1}{2}\left( {{e^0} - {e^{ - 1}}} \right) = - \frac{{e - 1}}{{2e}}[/math]

Можно сделать с заменой.
[math]\begin{gathered} \int\limits_{ - 1}^0 x {e^{ - {x^2}}}dx = \left| \begin{gathered} t = - {x^2}\,\, = > \,\,dt = - 2x \hfill \\ t\left( { - 1} \right) = - 1,\,\,t\left( 0 \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right| = - \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {{e^t}dt} = - \left. {\frac{1}{2}{e^t}} \right|_{ - 1}^0 = \hfill \\ = - \frac{1}{2}\left( {{e^0} - {e^{ - 1}}} \right) = - \frac{{e - 1}}{{2e}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Matlamer [ 16 июн 2012, 11:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

То есть сначала замена, а потом по формуле Ньютона?

Автор:  Matlamer [ 16 июн 2012, 11:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

А как вообще понять, в каком определённом интеграле можно просто по формуле, а в каком надо замену делать или ещё какие дополнительные манипуляции?

Автор:  Yurik [ 16 июн 2012, 11:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

Да, конечно, сначала интеграл решается, как неопределённый, и, если есть замена, пределы должны быть пересчитаны, а для вычисления используем формулу Ньютона.

Автор:  Yurik [ 16 июн 2012, 11:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

Matlamer писал(а):
А как вообще понять, в каком определённом интеграле можно просто по формуле, а в каком надо замену делать или ещё какие дополнительные манипуляции?

Подведение под дифференциал это, по сути, та же замена. Делайте так, как Вам удобнее и понятнее.

Автор:  Matlamer [ 16 июн 2012, 11:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определённый интеграл

ОК, большущее спасибо. Дальше попробую по аналогии.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/