| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17599 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | number_one [ 09 июн 2012, 00:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi) |
Как доказать, что [math]\Gamma(0,5)=\sqrt{\pi}[/math], используя тот факт, что [math]\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}[/math] Я понимаю, что [math]\Gamma(1-0,5)\Gamma(0,5)={\pi\over\sin({\pi\over 2})} \Rightarrow \Big(\Gamma(0,5)\Big)^2=\pi[/math] Но почему именно [math]\sqrt{\pi}[/math] , а не [math]-\sqrt{\pi}[/math]? |
|
| Автор: | andrei [ 09 июн 2012, 07:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi) |
Смотрите определение гамма-функции по Гауссу. |
|
| Автор: | Prokop [ 09 июн 2012, 07:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi) |
Надо вспомнить определение гамма функции. При [math]s>0[/math] [math]\Gamma \left( s \right) = \int\limits_0^\infty {t^{s - 1} e^{ - t} dt}[/math] Кроме того, [math]\Gamma \left( 0.5 \right)[/math] сводится к интегралу Гаусса (Эйлера, Пуассона). [math]\Gamma \left( {0.5} \right) = \int\limits_0^\infty {t^{ - 1/2} e^{ - t} dt} = \left\{ {x = t^{1/2} } \right\} = 2\int\limits_0^\infty {e^{ - x^2 } dx}=\int\limits_{- \infty }^\infty {e^{ - x^2 } dx} = \sqrt \pi[/math] |
|
| Автор: | andrei [ 09 июн 2012, 10:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi) |
Определение гамма-функции по Гауссу. Для всех действительных чисел х,кроме(0,-1,-2,...) [math]\Gamma (x)=\lim_{{n}\to{\infty }}{\frac{n!\cdot n^{x-1} }{x(x+1)(x+2)...(x+n-1)}}[/math] При x>0 определения Эйлера и Гаусса совпадают. |
|
| Автор: | number_one [ 09 июн 2012, 13:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi) |
Prokop писал(а): Надо вспомнить определение гамма функции. При [math]s>0[/math] [math]\Gamma \left( s \right) = \int\limits_0^\infty {t^{s - 1} e^{ - t} dt}[/math] Кроме того, [math]\Gamma \left( 0.5 \right)[/math] сводится к интегралу Гаусса (Эйлера, Пуассона). [math]\Gamma \left( {0.5} \right) = \int\limits_0^\infty {t^{ - 1/2} e^{ - t} dt} = \left\{ {x = t^{1/2} } \right\} = 2\int\limits_0^\infty {e^{ - x^2 } dx}=\int\limits_{- \infty }^\infty {e^{ - x^2 } dx} = \sqrt \pi[/math] Спасибо я именно так и сделал, но преподавателю такой ответ не понравился, он сказал, что нужно использовать именно свойство [math]\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}[/math], ну заморочки у него такие... |
|
| Автор: | number_one [ 09 июн 2012, 13:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi) |
andrei писал(а): Определение гамма-функции по Гауссу. Для всех действительных чисел х,кроме(0,-1,-2,...) [math]\Gamma (x)=\lim_{{n}\to{\infty }}{\frac{n!\cdot n^{x-1} }{x(x+1)(x+2)...(x+n-1)}}[/math] При x>0 определения Эйлера и Гаусса совпадают. Спасибо! Нужно показать из свойства [math]\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}[/math] |
|
| Автор: | Prokop [ 09 июн 2012, 15:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi) |
number_one Выходит, что Вам надо пользоваться только данной формулой? Если предположить, что гамма функция непрерывно дифференцируема два раза, то можно показать то, что Вам нужно. P.S. Я, кажется, поторопился. ![]() Если исходить только из данной формулы, то кроме [math]\Gamma \left( x \right)[/math] этому равенству удовлетворяет и [math]-\Gamma \left( x \right)[/math] В этих ограничениях доказать не отрицательность [math]\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right)[/math] не получится |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|