Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17599
Страница 1 из 1

Автор:  number_one [ 09 июн 2012, 00:00 ]
Заголовок сообщения:  Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)

Как доказать, что

[math]\Gamma(0,5)=\sqrt{\pi}[/math], используя тот факт, что [math]\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}[/math]

Я понимаю, что [math]\Gamma(1-0,5)\Gamma(0,5)={\pi\over\sin({\pi\over 2})} \Rightarrow \Big(\Gamma(0,5)\Big)^2=\pi[/math]

Но почему именно [math]\sqrt{\pi}[/math] , а не [math]-\sqrt{\pi}[/math]?

Автор:  andrei [ 09 июн 2012, 07:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)

Смотрите определение гамма-функции по Гауссу.

Автор:  Prokop [ 09 июн 2012, 07:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)

Надо вспомнить определение гамма функции. При [math]s>0[/math]
[math]\Gamma \left( s \right) = \int\limits_0^\infty {t^{s - 1} e^{ - t} dt}[/math]
Кроме того, [math]\Gamma \left( 0.5 \right)[/math] сводится к интегралу Гаусса (Эйлера, Пуассона).
[math]\Gamma \left( {0.5} \right) = \int\limits_0^\infty {t^{ - 1/2} e^{ - t} dt} = \left\{ {x = t^{1/2} } \right\} = 2\int\limits_0^\infty {e^{ - x^2 } dx}=\int\limits_{- \infty }^\infty {e^{ - x^2 } dx} = \sqrt \pi[/math]

Автор:  andrei [ 09 июн 2012, 10:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)

Определение гамма-функции по Гауссу.
Для всех действительных чисел х,кроме(0,-1,-2,...)
[math]\Gamma (x)=\lim_{{n}\to{\infty }}{\frac{n!\cdot n^{x-1} }{x(x+1)(x+2)...(x+n-1)}}[/math]

При x>0 определения Эйлера и Гаусса совпадают.

Автор:  number_one [ 09 июн 2012, 13:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)

Prokop писал(а):
Надо вспомнить определение гамма функции. При [math]s>0[/math]
[math]\Gamma \left( s \right) = \int\limits_0^\infty {t^{s - 1} e^{ - t} dt}[/math]
Кроме того, [math]\Gamma \left( 0.5 \right)[/math] сводится к интегралу Гаусса (Эйлера, Пуассона).
[math]\Gamma \left( {0.5} \right) = \int\limits_0^\infty {t^{ - 1/2} e^{ - t} dt} = \left\{ {x = t^{1/2} } \right\} = 2\int\limits_0^\infty {e^{ - x^2 } dx}=\int\limits_{- \infty }^\infty {e^{ - x^2 } dx} = \sqrt \pi[/math]


Спасибо я именно так и сделал, но преподавателю такой ответ не понравился, он сказал, что нужно использовать именно свойство [math]\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}[/math], ну заморочки у него такие...

Автор:  number_one [ 09 июн 2012, 13:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)

andrei писал(а):
Определение гамма-функции по Гауссу.
Для всех действительных чисел х,кроме(0,-1,-2,...)
[math]\Gamma (x)=\lim_{{n}\to{\infty }}{\frac{n!\cdot n^{x-1} }{x(x+1)(x+2)...(x+n-1)}}[/math]

При x>0 определения Эйлера и Гаусса совпадают.


Спасибо!
Нужно показать из свойства [math]\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}[/math]

Автор:  Prokop [ 09 июн 2012, 15:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)

number_one Выходит, что Вам надо пользоваться только данной формулой?
Если предположить, что гамма функция непрерывно дифференцируема два раза, то можно показать то, что Вам нужно.

P.S. Я, кажется, поторопился. :(
Если исходить только из данной формулы, то кроме [math]\Gamma \left( x \right)[/math] этому равенству удовлетворяет и [math]-\Gamma \left( x \right)[/math]
В этих ограничениях доказать не отрицательность [math]\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right)[/math] не получится

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/