Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)
СообщениеДобавлено: 09 июн 2012, 00:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как доказать, что

[math]\Gamma(0,5)=\sqrt{\pi}[/math], используя тот факт, что [math]\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}[/math]

Я понимаю, что [math]\Gamma(1-0,5)\Gamma(0,5)={\pi\over\sin({\pi\over 2})} \Rightarrow \Big(\Gamma(0,5)\Big)^2=\pi[/math]

Но почему именно [math]\sqrt{\pi}[/math] , а не [math]-\sqrt{\pi}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)
СообщениеДобавлено: 09 июн 2012, 07:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Смотрите определение гамма-функции по Гауссу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)
СообщениеДобавлено: 09 июн 2012, 07:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надо вспомнить определение гамма функции. При [math]s>0[/math]
[math]\Gamma \left( s \right) = \int\limits_0^\infty {t^{s - 1} e^{ - t} dt}[/math]
Кроме того, [math]\Gamma \left( 0.5 \right)[/math] сводится к интегралу Гаусса (Эйлера, Пуассона).
[math]\Gamma \left( {0.5} \right) = \int\limits_0^\infty {t^{ - 1/2} e^{ - t} dt} = \left\{ {x = t^{1/2} } \right\} = 2\int\limits_0^\infty {e^{ - x^2 } dx}=\int\limits_{- \infty }^\infty {e^{ - x^2 } dx} = \sqrt \pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
number_one
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)
СообщениеДобавлено: 09 июн 2012, 10:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Определение гамма-функции по Гауссу.
Для всех действительных чисел х,кроме(0,-1,-2,...)
[math]\Gamma (x)=\lim_{{n}\to{\infty }}{\frac{n!\cdot n^{x-1} }{x(x+1)(x+2)...(x+n-1)}}[/math]

При x>0 определения Эйлера и Гаусса совпадают.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
number_one
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)
СообщениеДобавлено: 09 июн 2012, 13:09 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Надо вспомнить определение гамма функции. При [math]s>0[/math]
[math]\Gamma \left( s \right) = \int\limits_0^\infty {t^{s - 1} e^{ - t} dt}[/math]
Кроме того, [math]\Gamma \left( 0.5 \right)[/math] сводится к интегралу Гаусса (Эйлера, Пуассона).
[math]\Gamma \left( {0.5} \right) = \int\limits_0^\infty {t^{ - 1/2} e^{ - t} dt} = \left\{ {x = t^{1/2} } \right\} = 2\int\limits_0^\infty {e^{ - x^2 } dx}=\int\limits_{- \infty }^\infty {e^{ - x^2 } dx} = \sqrt \pi[/math]


Спасибо я именно так и сделал, но преподавателю такой ответ не понравился, он сказал, что нужно использовать именно свойство [math]\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}[/math], ну заморочки у него такие...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)
СообщениеДобавлено: 09 июн 2012, 13:10 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Определение гамма-функции по Гауссу.
Для всех действительных чисел х,кроме(0,-1,-2,...)
[math]\Gamma (x)=\lim_{{n}\to{\infty }}{\frac{n!\cdot n^{x-1} }{x(x+1)(x+2)...(x+n-1)}}[/math]

При x>0 определения Эйлера и Гаусса совпадают.


Спасибо!
Нужно показать из свойства [math]\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство c гамма-функцией Г(1/2)=sqrt(pi)
СообщениеДобавлено: 09 июн 2012, 15:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
number_one Выходит, что Вам надо пользоваться только данной формулой?
Если предположить, что гамма функция непрерывно дифференцируема два раза, то можно показать то, что Вам нужно.

P.S. Я, кажется, поторопился. :(
Если исходить только из данной формулы, то кроме [math]\Gamma \left( x \right)[/math] этому равенству удовлетворяет и [math]-\Gamma \left( x \right)[/math]
В этих ограничениях доказать не отрицательность [math]\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right)[/math] не получится

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Построить график функции sqrt(tg x)*sqrt(ctg x)

в форуме Тригонометрия

Xenia1996

1

189

29 июн 2024, 23:12

ТФКП чему равно: sqrt(i) и sqrt(-i)

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Dimazde

2

2323

28 дек 2014, 23:51

ОМП для гамма-распределения

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

TeorVer

0

690

10 апр 2016, 05:20

Гамма распределение

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Stasya7

1

356

09 дек 2015, 15:18

Гамма распределение

в форуме Теория вероятностей

Sykes

2

276

21 ноя 2022, 12:52

Гамма- Бета функций в КА??

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

kroluk

0

416

22 май 2015, 11:34

Дискретное гамма распределение

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

946

2

508

27 авг 2018, 16:01

Несобственный интеграл (гамма функция)

в форуме Теория вероятностей

May6000

3

548

21 янв 2016, 00:58

Достаточные статистики Гамма распределения

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

antiuser

1

110

22 мар 2024, 20:46

Гамма функция комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Rawitj

1

212

13 дек 2021, 14:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved