Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17573
Страница 1 из 1

Автор:  Merhaba [ 06 июн 2012, 20:01 ]
Заголовок сообщения:  интеграл

Добрый вечер!!! :) Помогите Пожалуйста вычислить интеграл:
[math]\int \frac{7x-2}{3x^2-5x+4}dx[/math]

Автор:  Avgust [ 06 июн 2012, 20:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл

[math]= \int \frac{7x-2}{3\left (x-\frac 56 \right )^2+\frac{23}{12}} dx = ...[/math]

приводите к двум табличным интегралам

Автор:  Merhaba [ 07 июн 2012, 00:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл

Avgust
а как можно привести к двум табличным интегралам? :)

Автор:  Avgust [ 08 июн 2012, 13:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл

Вам надо так алгебраически преобразовать, чтобы получить:

[math]A \int \frac{x-\frac 56}{(x-\frac 56)^2+\frac{23}{36}} d(x-\frac 56) + B \int \frac{d(x-\frac 56)}{(x-\frac 56)^2+\frac{23}{36}}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 08 июн 2012, 14:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл

Так знаменатель не имеет действительных корней и [math](3x^2 - 5x + 4)' = 6x - 5[/math], то следует искать разложение в виде:

[math]\frac{7x - 2}{3x^2 - 5x + 4} = \frac{A}{3x^2 - 5x + 4} + \frac{B(6x - 5)}{3x^2 - 5x + 4}[/math]

Откуда [math]7x - 2 = A + 6Bx - 5B~ \Rightarrow\,\left\{ \begin{gathered}6B = 7, \hfill \\ A - 5B = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.~ \Rightarrow\,\left\{\begin{gathered}B = 7/6, \hfill \\A = 23/6. \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]

Следовательно, имеем

[math]\int \frac{7x - 2}{3x^2 - 5x + 4}\,dx= \frac{23}{6}\int \frac{dx}{3x^2- 5x + 4} + \frac{7}{6}\int \frac{d(3x^2 - 5x + 4)}{3x^2 - 5x + 4}[/math]

Автор:  Avgust [ 08 июн 2012, 17:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл

И все-таки гораздо проще привести к виду:

[math]\frac 73 \int \frac{x-\frac 56}{(x-\frac 56)^2+\frac{23}{36}} d(x-\frac 56) + \frac {23}{18} \int \frac{d(x-\frac 56)}{(x-\frac 56)^2+\frac{23}{36}}[/math]

Эти табличные интегралы дадут ответ:

[math]\frac 76\,\ln \left|3\,{x}^{2}-5\,x+4 \right| +\frac {\sqrt {23}}{3}\,\operatorname{arctg} \left( \frac{1}{23}\, \left( 6\,x-5 \right) \sqrt {23} \right) + C[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/