Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобственный интеграл с параметром: при каких a сходится
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17377
Страница 1 из 1

Автор:  Silas [ 29 май 2012, 21:33 ]
Заголовок сообщения:  Несобственный интеграл с параметром: при каких a сходится

Уважаемые, объясните пожалуйста примерчик

При [math]a>0[/math], выяснить при каких "а" сходится интеграл:

[math]\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1+x^2}{(x^2+x^a)(1 + x^a)^2}\,dx[/math]

(Не очень понятно с какой эквивалентной функцией сравнить, и какие иксы в каких степенях выживают)

Автор:  arkadiikirsanov [ 29 май 2012, 22:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл с параметром.

На бесконечности интеграл сходится при [math]a>0.5[/math] , в нуле - при [math]a<1[/math].Итог: [math]0.5<a<1[/math]

Автор:  Silas [ 29 май 2012, 22:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл с параметром.

Как определили?

Автор:  Silas [ 29 май 2012, 22:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл с параметром.

В 0 понятно , а на бесконечности не очень

Автор:  Silas [ 29 май 2012, 23:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл с параметром.

Вроде понял.

[math]$\[\int\limits_1^\infty {\frac{{1 + {x^2}}}{{({x^2} + {x^a}){{(1 + {x^a})}^2}}}} dx \sim \int\limits_1^\infty {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} \times {x^{2a}}}}} dx \sim \int\limits_1^\infty {\frac{1}{{{x^{2a}}}}} dx\]$[/math]
Верно?
Схо-ся при а>1/2

Автор:  arkadiikirsanov [ 30 май 2012, 07:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл с параметром.

Нет, не верно.

Автор:  Silas [ 30 май 2012, 11:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл с параметром.

Что не так? нужно еще рассмотреть случай , когда квадрат забивает 'a'?

Автор:  arkadiikirsanov [ 30 май 2012, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл с параметром.

Верно мыслите.

Автор:  Silas [ 30 май 2012, 16:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл с параметром.

[math]\[\frac{{1 + {x^2}}}{{({x^2} + {x^a}){{(1 + {x^a})}^2}}} \sim \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1\][/math]

Сходится при 2а<2 => 0<a<1

Похоже на правду?

Автор:  arkadiikirsanov [ 30 май 2012, 16:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл с параметром.

Нет, не похоже.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/