Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

решить интеграл от корня
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17247
Страница 1 из 1

Автор:  programolamer [ 24 май 2012, 12:46 ]
Заголовок сообщения:  решить интеграл от корня

[math]integral[0;pi] sqrt(2*(1+sin x))dx[/math]

Автор:  programolamer [ 24 май 2012, 12:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: решить интеграл от корня

пробовал по формуле [math]S x^n dx=(x^(^n^+^1^))/n+1[/math]
вышло [math]8/3*(t^(^3^/^2^))[/math] правильно ли? [math]t=(1+sin x)[/math] и дальше пи подставлять?

Автор:  Avgust [ 24 май 2012, 14:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: решить интеграл от корня

Если я правильно понял интеграл, то такая цепочка:

[math]\int \limits_0^{\pi}\sqrt{2[1+\sin(x)]}dx = \int \limits_0^{\pi}\sqrt{2 \cdot 2 \sin^2 \left (\frac x2 +\frac{\pi}{4}\right )}dx =\int \limits_0^{\pi} 2 \sin \left (\frac x2 +\frac{\pi}{4}\right )dx = -4 \cos\left (\frac x2 +\frac{\pi}{4}\right ) \bigg |_0^{\pi}=4\sqrt{2}[/math]

График доказывает верность результатов (красная линия - это подинтегральное выражение):

Изображение

Автор:  programolamer [ 24 май 2012, 15:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: решить интеграл от корня

а откуда квадрат и [math](x/2) +(pi/4)[/math] взялось во втором выражении? в первом обычные круглые скобки

Автор:  Avgust [ 24 май 2012, 15:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: решить интеграл от корня

Как откуда? Это известное представление : [math]1+\sin(x)=2 \sin^2 \left (\frac x2+ \frac {\pi}{4} \right )[/math]

Cм. например http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Bsin%28x%29%29

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/