| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Можно ли его решить http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17094 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | sergey250962 [ 19 май 2012, 11:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Можно ли его решить |
| Автор: | Yurik [ 19 май 2012, 11:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Можно ли его решить |
[math]\int_{}^{} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} = \int_{}^{} {\frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{8{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx} = \frac{1}{8}\int_{}^{} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \frac{1}{{16}}\int_{}^{} {\left( {1 - \cos x} \right)dx} = ...[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 19 май 2012, 13:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Можно ли его решить |
Не понимаю, как [math]1+\cos^2{x}[/math] превратился в [math]\cos^2{\frac{x}{2}}[/math]. |
|
| Автор: | Yurik [ 19 май 2012, 13:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Можно ли его решить |
Это ошибка! PS. Вольфрам решает его с помощью универсальной тригонометрической подстановки. http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E ... %B2x%29+dx |
|
| Автор: | mad_math [ 19 май 2012, 13:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Можно ли его решить |
Можно разделить числитель и знаменатель на квадрат косинуса и свести подынтегральную функцию к функции от тангенса. |
|
| Автор: | igor_vis [ 19 май 2012, 16:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Можно ли его решить |
у меня что-то такое выходит [math]\[\int {\frac{{{{\sin }^2}\left( x \right)}}{{1 + {{\cos }^2}\left( x \right)}}dx} = \left\{ \begin{array}{l} u = tg\left( {\frac{x}{2}} \right)\\ \cos (x) = \frac{{1 - {u^2}}}{{1 + {u^2}}}\\ \sin (x) = \frac{{2u}}{{1 + {u^2}}}\\ dx = \frac{{2du}}{{1 + {u^2}}} \end{array} \right\} = \int {\frac{{{{\left( {\frac{{2u}}{{1 + {u^2}}}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{{1 - {u^2}}}{{1 + {u^2}}}} \right)}^2}}}\frac{{2du}}{{1 + {u^2}}}} = \int {\frac{{{{\left( {2u} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + {u^2}} \right)}^2} + {{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}}}\frac{{2du}}{{1 + {u^2}}}} = \int {\frac{{4{u^2}}}{{1 + {u^4}}}\frac{{du}}{{1 + {u^2}}}} = ...\][/math] а еще справочник дает определенные интегралы [math]\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{1 \pm {a^2}{{\cos }^2}\left( x \right)}}} = \frac{\pi }{{2\sqrt {1 \pm {a^2}} }};{a^2} < 1\\ \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{1 \pm {a^2}{{\sin }^2}\left( x \right)}}} = \frac{\pi }{{2\sqrt {1 \pm {a^2}} }};{a^2} < 1 \end{array}[/math] сори за написание формул - я в этом пока еще чайник |
|
| Автор: | mad_math [ 19 май 2012, 17:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Можно ли его решить |
[math]\int\frac{\sin^2{x}}{\frac{1}{\cos^2{x}}+1}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{1}{\frac{1}{\sin^2{x}}(\operatorname{tg}^2x+1+1)}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=[/math] [math]=\int\frac{1}{\left(\frac{1}{\operatorname{tg}^2x}+1\right)(\operatorname{tg}^2x+2)}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\int\frac{\operatorname{tg}^2x}{\left(1+\operatorname{tg}^2x\right)(\operatorname{tg}^2x+2)}d(\operatorname{tg}x)=[/math] Дальше замена и разложить на сумму дробей. |
|
| Автор: | mad_math [ 19 май 2012, 17:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Можно ли его решить |
igor_vis писал(а): сори за написание формул - я в этом пока еще чайник Вместо переноса строки нужно поставить \\
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|