Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить объем тела, образованного вращением
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17067
Страница 1 из 2

Автор:  xothdaah [ 18 май 2012, 12:46 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить объем тела, образованного вращением

Помогите решить: Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями [math]y=sinx[/math], [math]y=cosx[/math], [math]x=0[/math] и ([math]x>=0[/math]).

возможно ли вообще решить или дано неверное условие?

Автор:  igor_vis [ 19 май 2012, 02:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

недостаточно ограничений по оси х
y=sinx, y=cosx, x=0 и (x>=0) - имеет бесконечное количество замкнутых областей, пригодных к вращению вокруг оси ОХ

Автор:  xothdaah [ 20 май 2012, 01:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Спасибо, так и напишу.

Автор:  igor_vis [ 20 май 2012, 11:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

объем, образованный вращением первой замкнутой области (х от 0 до пи/4) вокруг оси ОХ равен
[math]\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\pi \left( {{{\cos }^2}(x) - {{\sin }^2}(x)} \right)dx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos (2x)d\left( {2x} \right)} = \frac{\pi }{2}\left. {\left( {\sin (2x)} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{2}\][/math]

Автор:  mad_math [ 20 май 2012, 11:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

igor_vis писал(а):
недостаточно ограничений по оси х
y=sinx, y=cosx, x=0 и (x>=0) - имеет бесконечное количество замкнутых областей, пригодных к вращению вокруг оси ОХ
Так и вычисляйте с периодом.

Автор:  xothdaah [ 20 май 2012, 13:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

то есть нужно еще вычислить объем от пи/4 до пи? и как показать период?

Автор:  igor_vis [ 20 май 2012, 15:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

xothdaah писал(а):
то есть нужно еще вычислить объем от пи/4 до пи? и как показать период?

я нигде не увидел, что интегрирование должно быть до пи
если это есть в условии - напишите
я интегрировал до пи/4 потому что функция cos(x) пересекает sin(x) при х=пи/4

Изображение
на участке от 0 до пи/4 подынтегральная функция равна пи*(cos^2-sin^2)
на участке от пи/4 до пи/2 подынтегральная функция равна пи*(sin^2-cos^2)
на участке от пи/2 до 3пи/4 подынтегральная функция равна пи*(sin^2)
на участке от 3пи/4 до 5пи/4 подынтегральная функция равна пи*(cos^2)
на участке от 3пи/4 до 5пи/4 подынтегральная функция равна пи*(cos^2)
на участке от пи до 5пи/4 подынтегральная функция равна пи*(cos^2-sin^2)
на участке от 5пи/4 до 3пи/2 подынтегральная функция равна пи*(sin^2-cos^2)
на участке от 3пи/2 до 7пи/4 подынтегральная функция равна пи*(sin^2)
на участке от 7пи/4 до 2пи подынтегральная функция равна пи*(cos^2)

в сечении тело вращения будет иметь вид
Изображение
показан участок от 0 до 2пи
видно, что фигура повторяется с периодом пи

Автор:  xothdaah [ 20 май 2012, 16:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

нет, в условии этого, к сожалению, нет, все было бы проще

а с помощью вычисления несобственного интеграла нельзя решить эту задачу?
в соседней ветке, вроде, похожий случай, правда там нет замкнутых областей
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=5605

Автор:  xothdaah [ 20 май 2012, 16:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

Цитата:
видно, что фигура повторяется с периодом пи

ну вот, я поэтому и спросил об участке от пи/4 до пи
думал, может можно как-то записать цикличность

Автор:  igor_vis [ 20 май 2012, 17:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, образованного вращением

я предполагаю, что достаточно рассчитать объем тела, полученного вращением ограниченной области на участке от х = 0 до х = пи/4
остальные участки не граничат с прямой х=0

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/