Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16795
Страница 2 из 2

Автор:  Human [ 08 май 2012, 00:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

number_one писал(а):
-0,5 и пролопиталить?


Ээ...Не понял вопроса. Вы же уже получили константу (причём верно), зачем ещё чего-то лопиталить?

Автор:  number_one [ 08 май 2012, 03:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Human писал(а):
number_one писал(а):
-0,5 и пролопиталить?


Ээ...Не понял вопроса. Вы же уже получили константу (причём верно), зачем ещё чего-то лопиталить?


Ох, да, точно понятно, спасибо! Теперь все ясно с первыми двумя задачи :Yahoo!:

Автор:  number_one [ 08 май 2012, 13:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Изображение

Идеи по поводу 3987

[math]r^4=2a^2r^2\cos 2\varphi[/math]

[math]r=\pm \sqrt{2a^2\cos 2\varphi}[/math]

[math]r^2\geqslant a^2[/math]

[math]S=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{+\sqrt{2a^2\cos 2\varphi}}rdr=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi}2a^2\cos 2\varphi d\varphi[/math]

Верно?

Автор:  Human [ 08 май 2012, 18:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

В задачах, где просят найти площадь/объём некоторой области, ограниченной некоторыми кривыми/поверхностями (то есть в явном виде эта область не задана), прежде всего нужно эту самую область построить/нарисовать. После построения Вы убедитесь, что Ваш интеграл составлен неверно.

Автор:  number_one [ 08 май 2012, 22:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Human писал(а):
В задачах, где просят найти площадь/объём некоторой области, ограниченной некоторыми кривыми/поверхностями (то есть в явном виде эта область не задана), прежде всего нужно эту самую область построить/нарисовать. После построения Вы убедитесь, что Ваш интеграл составлен неверно.


Я вообще не умею рисовать, в том-то моя и проблема((( Я даже домик с солнцем нарисую хуже, чем 4-летний ребенок(

Автор:  Human [ 08 май 2012, 22:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

number_one писал(а):
Я вообще не умею рисовать, в том-то моя и проблема((( Я даже домик с солнцем нарисую хуже, чем 4-летний ребенок(


Ну Вы же не Джоконду рисовать собираетесь. Тем более, что основная суть будет не в рисовании, а в рассуждениях. Давайте разбираться.
Начнём с первой кривой. В полярных координатах её уравнение имеет вид [math]r^2=2a^2\cos2\varphi[/math]. Отсюда сразу видно, что уравнение имеет смысл только при положительном косинусе. Значит [math]-\frac{\pi}4<\varphi<\frac{\pi}4[/math]. При других [math]\varphi[/math] кривая будет повторяться в силу периодичности косинуса. Значит уже можно сказать, что график уравнения лежит между лучами [math]\varphi=\pm\frac{\pi}4[/math]. Можно найти пересечение этой кривой с осью абсцисс, то есть при [math]\varphi=0[/math]. Получится [math]r=\sqrt2a[/math]. Ещё в силу чётности косинуса можно сказать, что кривая симметрична относительно оси абсцисс. При увеличении угла от [math]0[/math] до [math]\frac{\pi}4[/math] радиус монотонно уменьшается от [math]\sqrt2a[/math] до нуля. Всё вышесказанное позволяет сделать вывод, что графиком будет такой симметричный "лепесток" с концом в начале координат. Для более высокой точности воспроизведения (точно рисовать график не нужно, главное определить примерный вид области) можно подставить ещё какие-нибудь точки, типа [math]\pm\frac{\pi}{12},\ \pm\frac{\pi}6[/math] и т. д.

Со второй кривой всё понятно: это окружность с радиусом [math]a[/math]. Если примерно изобразить обе кривые, то будет видно, что область лежит между кривыми [math]r=a[/math] и [math]r=\sqrt{2a^2\cos2\varphi}[/math], а сам угол [math]\varphi[/math] меняется от одной точки пересечения этих кривых до другой. Точки пересечения ищутся из уравнений графиков, это будет [math]\pm\frac{\pi}6[/math]. Значит интеграл будет такой:

[math]\int\limits_{-\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}6}\,d\varphi\int\limits_a^{\sqrt{2a^2\cos2\varphi}}r\,dr[/math]

В крайнем случае есть специальные программы, в которых можно по уравнениям ограничивающих кривых получить требуемую область (я, правда, не умею пользоваться такими программами, но сейчас посмотрю, что есть в инете, может чего-нибудь да построю).

Автор:  Human [ 08 май 2012, 22:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

А насчёт рисования графиков скажу так: Вы ничему не научитесь, если не начнёте что-то делать. Вот Ваша первая возможность. Потом с каждым разом будет получаться всё лучше и лучше.

Автор:  Human [ 08 май 2012, 23:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интегралы

Кстати, построил я в вольфраме первую кривую, и оказалось, что я немного ошибся: будет два лепестка, ещё один, соответственно, ограничен лучами [math]\pm\frac{3\pi}4[/math]. То есть надо конечный интеграл ещё на два умножить.

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/