Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интегралы
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 21:54 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первых двух номерах нужно исследовать на сходимость. После условий идут попытки взятия интегралов. Первая задача подробно расписана, по остальным короткие вопросы.

Изображение

Мои попытки:

2364

[math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^n}dx=I_1+I_2[/math]

[math]I_1=\int_0^{c}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^n}dx[/math]

[math]I_2=\int_c^{+\infty}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^n}dx[/math]

Подберем [math]\alpha[/math] так, чтобы [math]I_1\sim \int_0^{c}\frac{1}{x^\alpha}}dx[/math]

[math]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^n}:\frac{1}{x^\alpha}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^{n-\alpha}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{a}{(n-\alpha)x^{n-\alpha-1}}[/math]

Если [math]\alpha=n+1[/math], то [math]I_1\sim \int_0^{c}\frac{1}{x^\alpha}}dx[/math]


Таким образом нужно выяснить сходимость интеграла [math]\int_0^{c}\frac{1}{x^{n+1}}}dx[/math]

Он сходится при [math]n<-1[/math]

Таким образом [math]I_1[/math] сходится при [math]n<-1[/math]

Теперь про [math]I_2[/math] , имеем

Подберем [math]p[/math] так, чтобы [math]I_1\sim \int_a^{\infty}\frac{1}{x^p}}dx[/math]

[math]\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^n}:\frac{1}{x^p}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^{n-p}}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{a}{(n-p)x^{n-\alpha-1}}[/math]

Если [math]p=n+1[/math], то [math]I_1\sim \int_c^{\infty}\frac{1}{x^p}}dx[/math]


Таким образом нужно выяснить сходимость интеграла [math]\int_c^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}}}dx[/math]

Он сходится при [math]n>0[/math]

Таким образом [math]I[/math] сходится при [math]0<n<-1[/math]. Верно?
В следующем сообщении короткие вопросы


Последний раз редактировалось number_one 07 май 2012, 22:07, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 22:02 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2372

[math]\int_0^1\frac{\ln x}{1-x^2}=\int_0^{0,5}\frac{\ln x}{1-x^2}+\int_{0,5}^1\frac{\ln x}{1-x^2}[/math]

[math]I_1=\int_0^{0,5}\frac{\ln x}{1-x^2}[/math]

Опять сравнивать с [math]\int_0^{0,5}\frac{1}{x^\alpha}[/math] ?

3997

Подойдет замена [math]t=xy[/math] или есть удобнее?

4007

Правильно ли я понимаю, что нужно взять [math]\int_0^1dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{xy}^{1-x-y}[/math] ?

4012

Правильно ли я понимаю, что нужно взять тот же интеграл [math]\int_0^1dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{xy}^{1-x-y}[/math] ?

4013

[math]x=r\cos\varphi[/math]

[math]y=r\sin\varphi[/math]

[math]z=\pm\sqrt{0,5r^2\sin2\varphi}[/math]

Так что нужно вот такой интеграл брать? [math]\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_0^ardr\int_{-0,5r^2\sin2\varphi}^{+0,5r^2\sin2\varphi}dz[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 22:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
number_one писал(а):
[math]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^n}:\frac{1}{x^\alpha}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^{n-\alpha}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{a}{(n-\alpha)x^{n-\alpha-1}}[/math]

Если [math]\alpha=n+1[/math], то [math]I_1\sim \int_0^{c}\frac{1}{x^\alpha}}dx[/math]


Неверно нашли [math]\alpha[/math]. Должно быть [math]\alpha=n-1[/math], перепроверьте.

number_one писал(а):
Таким образом нужно выяснить сходимость интеграла [math]\int_0^{c}\frac{1}{x^{n+1}}}dx[/math]

Он сходится при [math]n<-1[/math]


Не только. Ещё при [math]-1\leqslant n<0[/math], проверьте. Это чтоб Вы избежали дальнейших ошибок после того, как поправите предыдущий пункт.

number_one писал(а):
[math]\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^n}:\frac{1}{x^p}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\operatorname{arctg}{(ax)}}{x^{n-p}}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{a}{(n-p)x^{n-\alpha-1}}[/math]


Как Вы вывели последнее выражение? Если по правилу Лопиталя, то значит неверно нашли производную арктангенса. Воспользуйтесь лучше тем, что на бесконечности арктангенс имеет конечный предел.

Ну и, соответственно, это

number_one писал(а):
Если [math]p=n+1[/math], то [math]I_1\sim \int_c^{\infty}\frac{1}{x^p}}dx[/math]


тоже неправильно. Исправляйтесь.

number_one писал(а):
[math]I_1=\int_0^{0,5}\frac{\ln x}{1-x^2}[/math]

Опять сравнивать с [math]\int_0^{0,5}\frac{1}{x^\alpha}[/math] ?


С таким интегралом с помощью предельного признака сравнения Вы сравнить не сможете. Лучше сравните с [math]\int\limits_0^{0,5}\ln x\,dx[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
number_one
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 23:16 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
number_one писал(а):

С таким интегралом с помощью предельного признака сравнения Вы сравнить не сможете. Лучше сравните с [math]\int\limits_0^{0,5}\ln x\,dx[/math].


Но если его взять по частям то он разойдется!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 23:19 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
number_one писал(а):
Должно быть [math]\alpha=n-1[/math], перепроверьте.




Должно быть [math]n-\alpha-1\leqslant 0[/math], значит [math]n-1\leqslant \alpha[/math]

C первой задачей разобрался, все ок, спасибо! А как с остальными?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 23:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
number_one писал(а):
Но если его взять по частям то он разойдется!


Если Вы про слагаемое [math]x\ln x[/math], то оно в нуле имеет конечный предел, равный нулю. Это доказывается элементарно по правилу Лопиталя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
number_one
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 23:42 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
number_one писал(а):
Но если его взять по частям то он разойдется!


Если Вы про слагаемое [math]x\ln x[/math], то оно в нуле имеет конечный предел, равный нулю. Это доказывается элементарно по правилу Лопиталя.


Ах, точно, и тут прокололся, получилось доказать, что сходится от 0 до 0,5

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 23:44 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А от 0,5 до 1 -- с чем лучше сравнить? [math]I_1=\int_{0,5}^1\frac{\ln x}{1-x^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 23:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
number_one писал(а):
А от 0,5 до 1 -- с чем лучше сравнить?[math]I_1=\int_{0,5}^1\frac{\ln x}{1-x^2}[/math]


Подынтегральное выражение эквивалентно некоторой константе при [math]x\to 1[/math]. Вот с ней и сравните.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
number_one
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 08 май 2012, 00:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
-0,5 и пролопиталить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

popfirdrih

22

187

17 ноя 2024, 15:52

ИНТЕГРАЛЫ

в форуме Интегральное исчисление

Facepalm

3

347

03 май 2016, 17:49

Интегралы

в форуме Объявления участников Форума

Fit11

0

314

02 июн 2016, 11:01

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

ligarz

1

299

06 июн 2016, 14:56

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Daha1997

3

356

25 ноя 2015, 16:56

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Vlader0n

1

218

06 июн 2016, 19:20

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

kupidon97

14

478

09 июн 2016, 05:42

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Buma_190

1

211

04 апр 2017, 12:05

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

MashaI

1

250

15 май 2017, 12:46

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

joni966

4

208

17 май 2017, 21:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved