| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить объем тела вращения http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16763 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Kitamo [ 07 май 2012, 13:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить объем тела вращения |
Фигура,ограниченная линиями y=x и y=x+(sinx)^2 (0<=x<=П) , вращается вокруг оси ОУ . Вычислить объем тела вращения. Я так понимаю можно было бы воспользоваться формулой Vy=pi∫x^2dy, x=c..d но для этого нужно выразить во втором уравнении х через у, а это невозможно... |
|
| Автор: | Prokop [ 07 май 2012, 14:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела вращения |
Но можно сделать замену переменной [math]y=x+{\sin}^2 x[/math]. |
|
| Автор: | Kitamo [ 07 май 2012, 14:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела вращения |
Prokop писал(а): Но можно сделать замену переменной [math]y=x+{\sin}^2 x[/math]. А как? |
|
| Автор: | Prokop [ 07 май 2012, 14:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела вращения |
Пусть [math]y = f\left( x \right)[/math], где [math]f\left( x \right) = x + \sin ^2 x[/math], [math]x \in \left[ {0,\pi } \right][/math]. У этой функции есть обратная [math]x = f^{ - 1} \left( y \right)[/math]. Тогда [math]\int\limits_0^\pi {\left( {f^{ - 1} \left( y \right)} \right)^2 dy} = \left\{ {y = f\left( x \right)} \right\} = \int\limits_0^\pi {x^2 f'\left( x \right)dx}[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 07 май 2012, 14:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела вращения |
Или воспользоваться этой формулой [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}V_y= 2\pi \int\limits_a^b xf(x)\,dx}}}[/math] [math]V_y= 2\pi \int\limits_0^\pi x(x +\sin^2x)\,dx- 2\pi \int\limits_0^\pi x\cdot x\,dx= 2\pi \int\limits_0^\pi x\sin^2x\,dx=\ldots =\frac{\pi^3}{2}[/math] |
|
| Автор: | Kitamo [ 07 май 2012, 14:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела вращения |
Prokop писал(а): Пусть [math]y = f\left( x \right)[/math], где [math]f\left( x \right) = x + \sin ^2 x[/math], [math]x \in \left[ {0,\pi } \right][/math]. У этой функции есть обратная [math]x = f^{ - 1} \left( y \right)[/math]. Тогда [math]\int\limits_0^\pi {\left( {f^{ - 1} \left( y \right)} \right)^2 dy} = \left\{ {y = f\left( x \right)} \right\} = \int\limits_0^\pi {x^2 f'\left( x \right)dx}[/math] И в итоге получается ∫x^2*(1+sin2x)dx,x=0..pi и все это счастье равняется 1/6pi^2*(2pi-3)? |
|
| Автор: | Prokop [ 07 май 2012, 14:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела вращения |
Да.
|
|
| Автор: | Kitamo [ 07 май 2012, 14:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела вращения |
А ответы то в двух вариантах решения получаются разные
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 07 май 2012, 15:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела вращения |
Kitamo Нет, одинаковые Напишите, как считали.
|
|
| Автор: | Kitamo [ 07 май 2012, 15:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела вращения |
Alexdemath писал(а): Kitamo Нет, одинаковые Напишите, как считали.да,все верно производную просто взяла неправильно
|
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|