Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить объем тела вращения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16763
Страница 1 из 2

Автор:  Kitamo [ 07 май 2012, 13:47 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить объем тела вращения

Фигура,ограниченная линиями y=x и y=x+(sinx)^2 (0<=x<=П) , вращается вокруг оси ОУ . Вычислить объем тела вращения.
Я так понимаю можно было бы воспользоваться формулой Vy=pi∫x^2dy, x=c..d
но для этого нужно выразить во втором уравнении х через у, а это невозможно...

Автор:  Prokop [ 07 май 2012, 14:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела вращения

Но можно сделать замену переменной [math]y=x+{\sin}^2 x[/math].

Автор:  Kitamo [ 07 май 2012, 14:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела вращения

Prokop писал(а):
Но можно сделать замену переменной [math]y=x+{\sin}^2 x[/math].


А как?

Автор:  Prokop [ 07 май 2012, 14:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела вращения

Пусть [math]y = f\left( x \right)[/math], где [math]f\left( x \right) = x + \sin ^2 x[/math], [math]x \in \left[ {0,\pi } \right][/math]. У этой функции есть обратная [math]x = f^{ - 1} \left( y \right)[/math]. Тогда
[math]\int\limits_0^\pi {\left( {f^{ - 1} \left( y \right)} \right)^2 dy} = \left\{ {y = f\left( x \right)} \right\} = \int\limits_0^\pi {x^2 f'\left( x \right)dx}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 07 май 2012, 14:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела вращения

Или воспользоваться этой формулой [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}V_y= 2\pi \int\limits_a^b xf(x)\,dx}}}[/math]

[math]V_y= 2\pi \int\limits_0^\pi x(x +\sin^2x)\,dx- 2\pi \int\limits_0^\pi x\cdot x\,dx= 2\pi \int\limits_0^\pi x\sin^2x\,dx=\ldots =\frac{\pi^3}{2}[/math]

Автор:  Kitamo [ 07 май 2012, 14:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела вращения

Prokop писал(а):
Пусть [math]y = f\left( x \right)[/math], где [math]f\left( x \right) = x + \sin ^2 x[/math], [math]x \in \left[ {0,\pi } \right][/math]. У этой функции есть обратная [math]x = f^{ - 1} \left( y \right)[/math]. Тогда
[math]\int\limits_0^\pi {\left( {f^{ - 1} \left( y \right)} \right)^2 dy} = \left\{ {y = f\left( x \right)} \right\} = \int\limits_0^\pi {x^2 f'\left( x \right)dx}[/math]



И в итоге получается ∫x^2*(1+sin2x)dx,x=0..pi и все это счастье равняется 1/6pi^2*(2pi-3)?

Автор:  Prokop [ 07 май 2012, 14:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела вращения

Да. :)

Автор:  Kitamo [ 07 май 2012, 14:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела вращения

А ответы то в двух вариантах решения получаются разные :cry:

Автор:  Alexdemath [ 07 май 2012, 15:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела вращения

Kitamo
Нет, одинаковые :puzyr:) Напишите, как считали.

Автор:  Kitamo [ 07 май 2012, 15:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела вращения

Alexdemath писал(а):
Kitamo
Нет, одинаковые :puzyr:) Напишите, как считали.


да,все верно :oops: производную просто взяла неправильно

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/