Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объём тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16706
Страница 1 из 2

Автор:  Merhaba [ 05 май 2012, 17:39 ]
Заголовок сообщения:  Объём тела

Добрый вечер!!! :) Помогите Пожалуйста найти объём тела, ограниченного поверхностями (можно воспользоваться цилиндрическими координатами):
[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/math], [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}, c>0[/math]

Автор:  Human [ 05 май 2012, 18:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела

Merhaba

Вам уже столько подобных примеров разобрали, пора бы уже самому делать какие-то попытки решения.

Автор:  Merhaba [ 05 май 2012, 18:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела

Human
цилиндрические координаты:
[math]\left\{\begin{matrix}x=rcos\varphi \\y=rsin\varphi \\z=z \end{matrix}\right.[/math]
[math]V=\iiint dxdydz=\iiint rdrd\varphi dz[/math]
я не могу расставить пределы интегрирования :( Помогите Пожалуйста :)

Автор:  Human [ 05 май 2012, 19:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела

Для начала разберитесь, какие поверхности входят в Вашу задачу. Изобразите их на рисунке. Так Вы поймёте, о каком теле идёт речь в задаче. Затем найдите проекцию тела на плоскость [math]Oxy[/math]. Для этого придётся найти пересечение данных поверхностей. Сразу подскажу, что это будет некоторый эллипс, и именно он будет искомой проекцией.

Автор:  Alexdemath [ 05 май 2012, 20:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела

Merhaba

Ответ такой [math]\frac{5\pi}{12}(3-\sqrt5)c[/math] должен получится?

Автор:  Human [ 05 май 2012, 20:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела

Alexdemath

А он разве не должен ещё зависеть от [math]a[/math] и [math]b[/math]?

Автор:  Alexdemath [ 05 май 2012, 20:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела

Да, конечно, просто не дописал.

У меня такой ответ [math]V=\frac{5\pi}{12}(3-\sqrt5)abc[/math] получился.

Автор:  Human [ 05 май 2012, 20:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела

Alexdemath

Подтверждаю :) . Правда, пришлось повозиться с арифметикой в конечном ответе. Я с золотым сечением не привык работать.

Автор:  Alexdemath [ 05 май 2012, 23:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела

Merhaba, вот подсказка

[math]\begin{aligned}T&= \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\,\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\leqslant \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2},~c\!\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right) \leqslant z \leqslant c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}} \right\} \\ &x = ar\cos \varphi,~~y = br\sin \varphi ,~~z = z,~~|J| = abr\\ T^{\ast}&= \left\{(r,\varphi,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0\leqslant r \leqslant \sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}},~0 \leqslant \varphi\leqslant 2\pi,~cr^2 \leqslant z \leqslant c\sqrt {1-r^2}\right\} \\ V&= \iiint\limits_T dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}}|J|\,drd\varphi dz = ab\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{\sqrt {\frac{\sqrt5-1}{2}}}r\,dr \int\limits_{cr^2}^{c\sqrt{1-r^2}}dz= \ldots=\frac{5\pi}{12}(3-\sqrt5)abc \end{aligned}[/math]

Автор:  Merhaba [ 06 май 2012, 14:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объём тела

Alexdemath

а как вот это получилось [math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\leqslant \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}[/math] ?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/