Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

относиться ли к не берущимся интегралам
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16663
Страница 1 из 2

Автор:  endless_summer [ 04 май 2012, 11:25 ]
Заголовок сообщения:  относиться ли к не берущимся интегралам

ln(((1-x)^1/2)+((1+x)^1/2)) dx ,, относиться ли данный интеграл к не берущимся ? нигде с справочниках найти не могу , однако нигма пишет что интеграл не берётся .

Автор:  Yurik [ 04 май 2012, 11:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: относиться ли к не берущимся интегралам

Берётся, как сумма двух интегралов.
[math]\begin{gathered} \int_{}^{} {\ln \sqrt {1 - x} dx} = \left| \begin{gathered} u = \ln \sqrt {1 - x} \,\, = > \,\,du = \frac{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^'}dx}}{{\sqrt {1 - x} }} = - \frac{{dx}}{{2\left( {1 - x} \right)}} \hfill \\ dv = dx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = > \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,v = x \hfill \\ \end{gathered} \right| = x\ln \sqrt {1 - x} + \frac{1}{2}\int_{}^{} {\frac{x}{{1 - x}}dx} = \hfill \\ = x\ln \sqrt {1 - x} - \frac{1}{2}\int_{}^{} {\left( {1 + \frac{1}{{x - 1}}} \right)dx} = x\ln \sqrt {1 - x} - \frac{1}{2}\left( {x + \ln |x - 1|} \right) + C \hfill \\ \int_{}^{} {\sqrt {1 + x} dx} = \frac{2}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} + C \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  endless_summer [ 04 май 2012, 12:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: относиться ли к не берущимся интегралам

Yurik, разве можно разложить сумму в логарифме ln(f+g)=ln(f) +ln(g) ?

Автор:  Yurik [ 04 май 2012, 12:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: относиться ли к не берущимся интегралам

endless_summer писал(а):
Yurik, разве можно разложить сумму в логарифме ln(f+g)=ln(f) +ln(g) ?

Нет, конечно, я неверно прочитал условие.
Но такой интеграл Вольфрам тоже берёт.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E ... x%29%29+dx

Автор:  endless_summer [ 04 май 2012, 12:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: относиться ли к не берущимся интегралам

извиняюсь за беспокойство , я решил уже ,, там просто нужно было брать по частям , а за u принять логарифм ,, не заметил сразу

Автор:  Avgust [ 04 май 2012, 16:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: относиться ли к не берущимся интегралам

А я получил первый интеграл так:

[math]\int_{}^{} {\ln \sqrt {1 - x} dx}=(1-x)\bigg (\frac{1}{2}-\ln\sqrt{1-x}\bigg )+C[/math]

Интересно - это верно?

Автор:  Alexdemath [ 04 май 2012, 17:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: относиться ли к не берущимся интегралам

Avgust

Корень можно (степень 1/2) за логарифм и просто проинтегрировать по частям.

Автор:  pewpimkin [ 04 май 2012, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: относиться ли к не берущимся интегралам

Да там, по-моему логарифм относится ко всему выражению и на два интеграла не рабивается

Автор:  Alexdemath [ 04 май 2012, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: относиться ли к не берущимся интегралам

endless_summer писал(а):
ln(((1-x)^1/2)+((1+x)^1/2)) dx ,, относиться ли данный интеграл к не берущимся ? нигде с справочниках найти не могу , однако нигма пишет что интеграл не берётся .

Просто проинтегрируйте по частям один раз

[math]\begin{aligned}\int \ln (\sqrt{1 - x}+ \sqrt{1 + x} )\,dx & = x\ln (\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) - \int x\,d\Bigl(\ln (\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} )\Bigr)= \\ &=\ldots= x\ln(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) - \frac{1}{2}\int\!\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)\!dx = \\ &= x\ln(\sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} ) + \frac{1}{2}\arcsin x - \frac{x}{2} + C \end{aligned}[/math]

Автор:  endless_summer [ 05 май 2012, 12:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: относиться ли к не берущимся интегралам

Alexdemath ,, мой ответ с вашим не сходиться ,, немогу понять как вы из производной логарифма получили разность : (1-(1/(1-x^2)^1/2)) и куда делся x в числителе ?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/