| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интегрируемость функции f(x) на некотором отрезке http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16642 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | betman [ 03 май 2012, 14:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Интегрируемость функции f(x) на некотором отрезке |
Если функция [math]f(x)[/math] интегрируема на некотором отрезке и не обращается на нём в нуль, то будет ли на этом отрезке всегда интегрируема функция [math]\frac{1}{f(x)}[/math]? Ответ обосновать. |
|
| Автор: | Human [ 03 май 2012, 16:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задание на обоснование |
Нет. Рассмотрим, например, функцию [math]f(x)=\begin{cases}x,&x\in(0,1];\\1,&x=0.\end{cases}[/math] Эта функция ограничена на отрезке [math][0,1][/math] и интегрируема на любом отрезке вида [math][\eta,1],\ 0<\eta<1[/math] в силу непрерывности, значит она интегрируема на всём отрезке [math][0,1][/math] (доказательство здесь). Также видно, что она нигде не обращается в нуль. Тем не менее, функция [math]\frac1{f(x)}=\begin{cases}\frac1x,&x\in(0,1];\\1,&x=0.\end{cases}[/math] неограниченна на отрезке [math][0,1][/math], значит она на нём не интегрируема. |
|
| Автор: | __Oksana__ [ 04 май 2012, 19:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задание на обоснование |
Human писал(а): Нет. Рассмотрим, например, функцию [math]f(x)=\begin{cases}x,&x\in(0,1];\\1,&x=0.\end{cases}[/math] Эта функция ограничена на отрезке [math][0,1][/math] и интегрируема на любом отрезке вида [math][\eta,1],\ 0<\eta<1[/math] в силу непрерывности, значит она интегрируема на всём отрезке [math][0,1][/math] (доказательство здесь). Также видно, что она нигде не обращается в нуль. Тем не менее, функция [math]\frac1{f(x)}=\begin{cases}\frac1x,&x\in(0,1];\\1,&x=0.\end{cases}[/math] неограниченна на отрезке [math][0,1][/math], значит она на нём не интегрируема. что из доказательства по ссылке обязательно нужно написать? |
|
| Автор: | Human [ 04 май 2012, 20:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интегрируемость функции f(x) на некотором отрезке |
__Oksana__ писал(а): что из доказательства по ссылке обязательно нужно написать? Ну, если Вы считаете известным, что ограниченная на отрезке функция, имеющая на нём конечное число точек разрыва, интегрируема на этом отрезке, то ничего писать не надо. Если же нет, то обратитесь к последнему посту той темы и, следуя ему, составьте доказательство, аналогичное тому, что написано во 2-ом посте, для предложенной мною функции. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|