Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16623
Страница 1 из 1

Автор:  Merhaba [ 02 май 2012, 22:42 ]
Заголовок сообщения:  Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра

Добрый Вечер!!! :) Помогите, пожалуйста.

Найти площадь части сферы [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math], заключенной внутри цилиндра [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b\leqslant a[/math]

Автор:  Human [ 02 май 2012, 23:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь части сферы

Ох, даже не верится, что я взял-таки этот интеграл, провозился где-то с час. Вот ответ, проверьте:

[math]4\pi a^2-8a^2\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b[/math]

Делал в лоб, по формулам для поверхностного интеграла первого рода, затем параметризация [math]x=ar\cos\varphi,\ y=br\sin\varphi,\ 0<r<1,\ 0<\varphi<2\pi[/math]. Может, кто попроще способ знает?

Автор:  Merhaba [ 03 май 2012, 05:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь части сферы

Human
ответ: [math]8a^2arcsin(\frac{b}{a})[/math]

Автор:  Alexdemath [ 03 май 2012, 12:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь части сферы

Human
А здесь проще без каких-либо замен

[math]\begin{aligned}z &= \sqrt{a^2-x^2-y^2}\\ z'_x& = - \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}~~ \Rightarrow~~ z'_x^2 = \frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}\\ z'_y &= - \frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}~~\Rightarrow~~ z'_y^2 = \frac{y^2}{a^2-x^2-y^2} \end{aligned}[/math]

[math]ds= \sqrt{1+z'_x^2+z'_y^2}\,dxdy = \frac{a\,dxdy}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math]

[math]D_{xy}= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\,0 \leqslant x \leqslant a,~0 \leqslant y \leqslant\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\right\}[/math]

[math]\begin{aligned}S&= 8\iint\limits_{{D_{xy}}} {ds} = 8a\int\limits_0^a {dx} \int\limits_0^{\frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } {\frac{{dy}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2} - {y^2}} }}} = 8a\int\limits_0^a {dx} \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\frac{{dy}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}^2}} }}} = \\ &= 8a\int\limits_0^a {dx} \int {\frac{{d\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}^2}} }}} = 8a\int\limits_0^a {dx} \left. {\arcsin \frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right|_{y = 0}^{y = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } = 8{a^2}\arcsin \frac{b}{a} \end{aligned}[/math]

Автор:  Human [ 03 май 2012, 13:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь части сферы

Merhaba писал(а):
Human
ответ: [math]8a^2arcsin(\frac{b}{a})[/math]

Это то же самое, поскольку [math]\frac{\pi}2-\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b=\arcsin\frac b a[/math]

Alexdemath

Даже обидно стало :( . Действительно всё просто.

Автор:  Merhaba [ 11 май 2012, 23:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь части сферы

Alexdemath
Помогите Пожалуйста построить чертёж :)

Автор:  VSI [ 12 май 2012, 19:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь части сферы

Merhaba писал(а):
Alexdemath
Помогите Пожалуйста построить чертёж :)
Maple v.13
Изображение

Автор:  BlackBird [ 23 май 2015, 13:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра

Почему площадь умножаем на 8? Разве не на 4? Искомая площадь симметрично относительно XOY, и берется четверть.

Автор:  vvvv [ 24 май 2015, 14:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра

BlackBird писал(а):
Почему площадь умножаем на 8? Разве не на 4? Искомая площадь симметрично относительно XOY, и берется четверть.

Наверное, вверху четыре и внизу столько же.

Автор:  BlackBird [ 24 май 2015, 14:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра

Я тоже так думаю, хотел удостовериться :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/