| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16623 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Merhaba [ 02 май 2012, 22:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра |
Добрый Вечер!!! Помогите, пожалуйста.Найти площадь части сферы [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math], заключенной внутри цилиндра [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b\leqslant a[/math] |
|
| Автор: | Human [ 02 май 2012, 23:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: площадь части сферы |
Ох, даже не верится, что я взял-таки этот интеграл, провозился где-то с час. Вот ответ, проверьте: [math]4\pi a^2-8a^2\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b[/math] Делал в лоб, по формулам для поверхностного интеграла первого рода, затем параметризация [math]x=ar\cos\varphi,\ y=br\sin\varphi,\ 0<r<1,\ 0<\varphi<2\pi[/math]. Может, кто попроще способ знает? |
|
| Автор: | Merhaba [ 03 май 2012, 05:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: площадь части сферы |
Human ответ: [math]8a^2arcsin(\frac{b}{a})[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 03 май 2012, 12:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: площадь части сферы |
Human А здесь проще без каких-либо замен [math]\begin{aligned}z &= \sqrt{a^2-x^2-y^2}\\ z'_x& = - \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}~~ \Rightarrow~~ z'_x^2 = \frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}\\ z'_y &= - \frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}~~\Rightarrow~~ z'_y^2 = \frac{y^2}{a^2-x^2-y^2} \end{aligned}[/math] [math]ds= \sqrt{1+z'_x^2+z'_y^2}\,dxdy = \frac{a\,dxdy}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math] [math]D_{xy}= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\,0 \leqslant x \leqslant a,~0 \leqslant y \leqslant\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\right\}[/math] [math]\begin{aligned}S&= 8\iint\limits_{{D_{xy}}} {ds} = 8a\int\limits_0^a {dx} \int\limits_0^{\frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } {\frac{{dy}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2} - {y^2}} }}} = 8a\int\limits_0^a {dx} \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\frac{{dy}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}^2}} }}} = \\ &= 8a\int\limits_0^a {dx} \int {\frac{{d\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}^2}} }}} = 8a\int\limits_0^a {dx} \left. {\arcsin \frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right|_{y = 0}^{y = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } = 8{a^2}\arcsin \frac{b}{a} \end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Human [ 03 май 2012, 13:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: площадь части сферы |
Merhaba писал(а): Human ответ: [math]8a^2arcsin(\frac{b}{a})[/math] Это то же самое, поскольку [math]\frac{\pi}2-\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b=\arcsin\frac b a[/math] Alexdemath Даже обидно стало . Действительно всё просто.
|
|
| Автор: | Merhaba [ 11 май 2012, 23:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: площадь части сферы |
Alexdemath Помогите Пожалуйста построить чертёж
|
|
| Автор: | VSI [ 12 май 2012, 19:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: площадь части сферы |
Merhaba писал(а): Alexdemath Maple v.13 Помогите Пожалуйста построить чертёж ![]()
|
|
| Автор: | BlackBird [ 23 май 2015, 13:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра |
Почему площадь умножаем на 8? Разве не на 4? Искомая площадь симметрично относительно XOY, и берется четверть. |
|
| Автор: | vvvv [ 24 май 2015, 14:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра |
BlackBird писал(а): Почему площадь умножаем на 8? Разве не на 4? Искомая площадь симметрично относительно XOY, и берется четверть. Наверное, вверху четыре и внизу столько же. |
|
| Автор: | BlackBird [ 24 май 2015, 14:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра |
Я тоже так думаю, хотел удостовериться
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|