Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Merhaba |
|
|
Помогите, пожалуйста.Найти площадь части сферы [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math], заключенной внутри цилиндра [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b\leqslant a[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Ох, даже не верится, что я взял-таки этот интеграл, провозился где-то с час. Вот ответ, проверьте:
[math]4\pi a^2-8a^2\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b[/math] Делал в лоб, по формулам для поверхностного интеграла первого рода, затем параметризация [math]x=ar\cos\varphi,\ y=br\sin\varphi,\ 0<r<1,\ 0<\varphi<2\pi[/math]. Может, кто попроще способ знает? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Merhaba |
|
|
|
Human
ответ: [math]8a^2arcsin(\frac{b}{a})[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
Human
А здесь проще без каких-либо замен [math]\begin{aligned}z &= \sqrt{a^2-x^2-y^2}\\ z'_x& = - \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}~~ \Rightarrow~~ z'_x^2 = \frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}\\ z'_y &= - \frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}~~\Rightarrow~~ z'_y^2 = \frac{y^2}{a^2-x^2-y^2} \end{aligned}[/math] [math]ds= \sqrt{1+z'_x^2+z'_y^2}\,dxdy = \frac{a\,dxdy}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math] [math]D_{xy}= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\,0 \leqslant x \leqslant a,~0 \leqslant y \leqslant\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\right\}[/math] [math]\begin{aligned}S&= 8\iint\limits_{{D_{xy}}} {ds} = 8a\int\limits_0^a {dx} \int\limits_0^{\frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } {\frac{{dy}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2} - {y^2}} }}} = 8a\int\limits_0^a {dx} \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\frac{{dy}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}^2}} }}} = \\ &= 8a\int\limits_0^a {dx} \int {\frac{{d\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}^2}} }}} = 8a\int\limits_0^a {dx} \left. {\arcsin \frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right|_{y = 0}^{y = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } = 8{a^2}\arcsin \frac{b}{a} \end{aligned}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: BlackBird, Human, Merhaba |
||
| Human |
|
|
|
Merhaba писал(а): Human ответ: [math]8a^2arcsin(\frac{b}{a})[/math] Это то же самое, поскольку [math]\frac{\pi}2-\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b=\arcsin\frac b a[/math] Alexdemath Даже обидно стало . Действительно всё просто. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Merhaba |
||
| Merhaba |
|
|
|
Alexdemath
Помогите Пожалуйста построить чертёж ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| VSI |
|
|
|
Merhaba писал(а): Alexdemath Maple v.13 Помогите Пожалуйста построить чертёж ![]() ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю VSI "Спасибо" сказали: Merhaba, vasillisska |
||
| BlackBird |
|
|
|
Почему площадь умножаем на 8? Разве не на 4? Искомая площадь симметрично относительно XOY, и берется четверть.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| vvvv |
|
|
|
BlackBird писал(а): Почему площадь умножаем на 8? Разве не на 4? Искомая площадь симметрично относительно XOY, и берется четверть. Наверное, вверху четыре и внизу столько же. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали: BlackBird |
||
| BlackBird |
|
|
|
Я тоже так думаю, хотел удостовериться
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 10 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Площадь части цилиндра, расположенной внутри сферы
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
756 |
01 май 2017, 16:35 |
|
|
Площадь поверхности параболоида, заключённой внутри цилиндра
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
458 |
05 сен 2019, 11:42 |
|
|
Найти площадь части сферы
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
254 |
09 июн 2020, 08:18 |
|
|
Вычислить площадь части сферы
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
567 |
24 май 2015, 13:58 |
|
|
Вычислить площадь части поверхности цилиндра
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
2155 |
03 янв 2017, 14:19 |
|
|
Вычислить площадь части поверхности сферы
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
211 |
14 дек 2023, 20:37 |
|
|
Кривая делит круг на части. Найти площадь наибольшей части
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
246 |
27 дек 2020, 00:00 |
|
|
Циркуль внутри сферы
в форуме Палата №6 |
136 |
3183 |
01 ноя 2016, 10:54 |
|
| Линия пересечения сферы и цилиндра | 1 |
346 |
02 июн 2020, 15:09 |
|
|
Диаметр круга внутри сферы
в форуме Геометрия |
2 |
70 |
07 ноя 2024, 13:47 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |