Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра
СообщениеДобавлено: 02 май 2012, 22:42 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый Вечер!!! :) Помогите, пожалуйста.

Найти площадь части сферы [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math], заключенной внутри цилиндра [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b\leqslant a[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: площадь части сферы
СообщениеДобавлено: 02 май 2012, 23:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ох, даже не верится, что я взял-таки этот интеграл, провозился где-то с час. Вот ответ, проверьте:

[math]4\pi a^2-8a^2\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b[/math]

Делал в лоб, по формулам для поверхностного интеграла первого рода, затем параметризация [math]x=ar\cos\varphi,\ y=br\sin\varphi,\ 0<r<1,\ 0<\varphi<2\pi[/math]. Может, кто попроще способ знает?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: площадь части сферы
СообщениеДобавлено: 03 май 2012, 05:09 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
ответ: [math]8a^2arcsin(\frac{b}{a})[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: площадь части сферы
СообщениеДобавлено: 03 май 2012, 12:41 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
А здесь проще без каких-либо замен

[math]\begin{aligned}z &= \sqrt{a^2-x^2-y^2}\\ z'_x& = - \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}~~ \Rightarrow~~ z'_x^2 = \frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}\\ z'_y &= - \frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}~~\Rightarrow~~ z'_y^2 = \frac{y^2}{a^2-x^2-y^2} \end{aligned}[/math]

[math]ds= \sqrt{1+z'_x^2+z'_y^2}\,dxdy = \frac{a\,dxdy}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math]

[math]D_{xy}= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\,0 \leqslant x \leqslant a,~0 \leqslant y \leqslant\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\right\}[/math]

[math]\begin{aligned}S&= 8\iint\limits_{{D_{xy}}} {ds} = 8a\int\limits_0^a {dx} \int\limits_0^{\frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } {\frac{{dy}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2} - {y^2}} }}} = 8a\int\limits_0^a {dx} \int {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\frac{{dy}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}^2}} }}} = \\ &= 8a\int\limits_0^a {dx} \int {\frac{{d\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)}^2}} }}} = 8a\int\limits_0^a {dx} \left. {\arcsin \frac{y}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right|_{y = 0}^{y = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } = 8{a^2}\arcsin \frac{b}{a} \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
BlackBird, Human, Merhaba
 Заголовок сообщения: Re: площадь части сферы
СообщениеДобавлено: 03 май 2012, 13:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Merhaba писал(а):
Human
ответ: [math]8a^2arcsin(\frac{b}{a})[/math]

Это то же самое, поскольку [math]\frac{\pi}2-\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b=\arcsin\frac b a[/math]

Alexdemath

Даже обидно стало :( . Действительно всё просто.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Merhaba
 Заголовок сообщения: Re: площадь части сферы
СообщениеДобавлено: 11 май 2012, 23:47 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
Помогите Пожалуйста построить чертёж :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: площадь части сферы
СообщениеДобавлено: 12 май 2012, 19:50 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
30 сен 2011, 20:32
Сообщений: 381
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
203 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 142

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Merhaba писал(а):
Alexdemath
Помогите Пожалуйста построить чертёж :)
Maple v.13
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю VSI "Спасибо" сказали:
Merhaba, vasillisska
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра
СообщениеДобавлено: 23 май 2015, 13:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2015, 12:48
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почему площадь умножаем на 8? Разве не на 4? Искомая площадь симметрично относительно XOY, и берется четверть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра
СообщениеДобавлено: 24 май 2015, 14:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3392
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
BlackBird писал(а):
Почему площадь умножаем на 8? Разве не на 4? Искомая площадь симметрично относительно XOY, и берется четверть.

Наверное, вверху четыре и внизу столько же.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
BlackBird
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь части сферы, заключенной внутри цилиндра
СообщениеДобавлено: 24 май 2015, 14:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2015, 12:48
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я тоже так думаю, хотел удостовериться :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Площадь части цилиндра, расположенной внутри сферы

в форуме Интегральное исчисление

SanGreen

1

756

01 май 2017, 16:35

Площадь поверхности параболоида, заключённой внутри цилиндра

в форуме Интегральное исчисление

REDLORD

0

458

05 сен 2019, 11:42

Найти площадь части сферы

в форуме Интегральное исчисление

jones1910

7

254

09 июн 2020, 08:18

Вычислить площадь части сферы

в форуме Интегральное исчисление

BlackBird

1

567

24 май 2015, 13:58

Вычислить площадь части поверхности цилиндра

в форуме Интегральное исчисление

sapog33

3

2155

03 янв 2017, 14:19

Вычислить площадь части поверхности сферы

в форуме Интегральное исчисление

Student_01

2

211

14 дек 2023, 20:37

Кривая делит круг на части. Найти площадь наибольшей части

в форуме Интегральное исчисление

Yece

4

246

27 дек 2020, 00:00

Циркуль внутри сферы

в форуме Палата №6

3axap

136

3183

01 ноя 2016, 10:54

Линия пересечения сферы и цилиндра

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Dmitri Chebotaev

1

346

02 июн 2020, 15:09

Диаметр круга внутри сферы

в форуме Геометрия

zataka

2

70

07 ноя 2024, 13:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved