| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Объем тела, ограниченного поверхностями http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16622 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Merhaba [ 02 май 2012, 22:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Объем тела, ограниченного поверхностями |
Добрый Вечер!!! Помогите Пожалуйста найти объём тела, ограниченного поверхностями:[math]x^2+y^2+z^2=a^2, x^2+y^2>a|x|, a>0[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 03 май 2012, 13:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Merhaba Ответ такой [math]\frac{16}{9}a^3[/math] должен получиться? |
|
| Автор: | Merhaba [ 03 май 2012, 13:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Alexdemath да!!! Выложите Пожалуйста решение)
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 03 май 2012, 13:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Ввиду симметрии тела относительно координатных плоскостей, записываем интеграл для части, лежащей в первом октанте, и умножаем его на 8. [math]\begin{gathered} D_{xy} = \left\{(x,y) \in\mathbb{R}^2\colon\,0 \leqslant x \leqslant a,~\sqrt {ax - {x^2}} \leqslant y \leqslant \sqrt {{a^2} - {x^2}} \right\} \hfill \\ x = r\cos \varphi,~~y = r\sin \varphi \hfill \\ D_{r\varphi}= \left\{(r,\varphi) \in\mathbb{R}^2\colon\,a\cos \varphi \leqslant r \leqslant a,~0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}} \right\} \hfill \\ V = 8\iint\limits_{D_{xy}}\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,dxdy= 8\iint\limits_{D_{r\varphi}}r\,drd\varphi= 8\int\limits_0^{\pi /2}d\varphi \int\limits_{a\cos\varphi}^a r\sqrt{a^2-r^2}\,dr= \ldots = \frac{{16}}{9}{a^3} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Выложите картинку с проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math]. |
|
| Автор: | Merhaba [ 03 май 2012, 20:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Alexdemath а как можно сделать это задание с помощью тройного интеграла? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 03 май 2012, 20:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Merhaba писал(а): а как можно сделать это задание с помощью тройного интеграла? Почти тоже самое, используя цилиндрические координаты. [math]\begin{gathered} T= \left\{0 \leqslant x \leqslant a,~\sqrt{ax-x^2}\leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2},~0\leqslant z\leqslant\sqrt{a^2-x^2-y^2} \right\} \hfill \\ x = r\cos\varphi,~~y = r\sin \varphi,~~z=z \hfill \\ T^{\ast}= \left\{a\cos \varphi \leqslant r \leqslant a,~0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}},~0\leqslant z\leqslant\sqrt{a^2-r^2} \right\} \hfill \\ V= 8\iiint\limits_{T}dxdydz= 8\iiint\limits_{T^{\ast}}r\,drd\varphi dz= 8\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi \int\limits_{a\cos\varphi}^a r\,dr\int\limits_{0}^{\sqrt{a^2-r^2}}dz= \ldots = \frac{{16}}{9}{a^3} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 03 май 2012, 21:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Вот чертёж проекции тела на плоскость [math]Oxy[/math] |
|
| Автор: | vvvv [ 04 май 2012, 21:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Не удержался, чтобы не добавить
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 04 май 2012, 23:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
vvvv Очень красивая фигура получилось, и угол обзора удачно подобрали
|
|
| Автор: | Merhaba [ 05 май 2012, 18:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Объем тела, ограниченного поверхностями |
Alexdemath писал(а): Вот чертёж проекции тела на плоскость [math]Oxy[/math] а с помощью какой программы вы сделали такой чертёж?
|
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|