Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объем тела, ограниченного поверхностями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16622
Страница 1 из 2

Автор:  Merhaba [ 02 май 2012, 22:35 ]
Заголовок сообщения:  Объем тела, ограниченного поверхностями

Добрый Вечер!!! :) Помогите Пожалуйста найти объём тела, ограниченного поверхностями:

[math]x^2+y^2+z^2=a^2, x^2+y^2>a|x|, a>0[/math]

Автор:  Alexdemath [ 03 май 2012, 13:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Merhaba

Ответ такой [math]\frac{16}{9}a^3[/math] должен получиться?

Автор:  Merhaba [ 03 май 2012, 13:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Alexdemath
да!!! :) Выложите Пожалуйста решение) :)

Автор:  Alexdemath [ 03 май 2012, 13:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Ввиду симметрии тела относительно координатных плоскостей, записываем интеграл для части, лежащей в первом октанте, и умножаем его на 8.

[math]\begin{gathered} D_{xy} = \left\{(x,y) \in\mathbb{R}^2\colon\,0 \leqslant x \leqslant a,~\sqrt {ax - {x^2}} \leqslant y \leqslant \sqrt {{a^2} - {x^2}} \right\} \hfill \\ x = r\cos \varphi,~~y = r\sin \varphi \hfill \\ D_{r\varphi}= \left\{(r,\varphi) \in\mathbb{R}^2\colon\,a\cos \varphi \leqslant r \leqslant a,~0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}} \right\} \hfill \\ V = 8\iint\limits_{D_{xy}}\sqrt{a^2-x^2-y^2}\,dxdy= 8\iint\limits_{D_{r\varphi}}r\,drd\varphi= 8\int\limits_0^{\pi /2}d\varphi \int\limits_{a\cos\varphi}^a r\sqrt{a^2-r^2}\,dr= \ldots = \frac{{16}}{9}{a^3} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Выложите картинку с проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math].

Автор:  Merhaba [ 03 май 2012, 20:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Alexdemath
а как можно сделать это задание с помощью тройного интеграла?

Автор:  Alexdemath [ 03 май 2012, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Merhaba писал(а):
а как можно сделать это задание с помощью тройного интеграла?

Почти тоже самое, используя цилиндрические координаты.

[math]\begin{gathered} T= \left\{0 \leqslant x \leqslant a,~\sqrt{ax-x^2}\leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2},~0\leqslant z\leqslant\sqrt{a^2-x^2-y^2} \right\} \hfill \\ x = r\cos\varphi,~~y = r\sin \varphi,~~z=z \hfill \\ T^{\ast}= \left\{a\cos \varphi \leqslant r \leqslant a,~0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}},~0\leqslant z\leqslant\sqrt{a^2-r^2} \right\} \hfill \\ V= 8\iiint\limits_{T}dxdydz= 8\iiint\limits_{T^{\ast}}r\,drd\varphi dz= 8\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi \int\limits_{a\cos\varphi}^a r\,dr\int\limits_{0}^{\sqrt{a^2-r^2}}dz= \ldots = \frac{{16}}{9}{a^3} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 03 май 2012, 21:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Вот чертёж проекции тела на плоскость [math]Oxy[/math]

Чертёж проекции тела на плоскость Oxy

Автор:  vvvv [ 04 май 2012, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Не удержался, чтобы не добавить :)
Изображение

Автор:  Alexdemath [ 04 май 2012, 23:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

vvvv

Очень красивая фигура получилось, и угол обзора удачно подобрали :good:

Автор:  Merhaba [ 05 май 2012, 18:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями

Alexdemath писал(а):
Вот чертёж проекции тела на плоскость [math]Oxy[/math]

Чертёж проекции тела на плоскость Oxy

а с помощью какой программы вы сделали такой чертёж? :)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/