Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

площадь области, ограниченной кривыми
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16621
Страница 1 из 2

Автор:  Merhaba [ 02 май 2012, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  площадь области, ограниченной кривыми

Добрый Вечер! :) Помогите Пожалуйста найти площадь области:

1) [math](x+y)^4=6xy^2[/math]

2) [math]\sqrt[4]{\frac{x}{a}}+\sqrt[4]{\frac{y}{b}}=1, x=0, y=0, a>0, b>0[/math]

Автор:  Avgust [ 02 май 2012, 22:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь области, ограниченной кривыми

1) Это петля в первом квадранте. Переходя к полярным координатам, получаем

[math]r=-6\,{\frac {\cos \left( t \right) \left( \sin \left( t \right) \right) ^{2}}{4\, \left( \cos \left( t \right) \right) ^{4}-4\,\sin \left( t \right) \cos \left( t \right) -4\, \left( \cos \left( t \right) \right) ^{2}-1}}[/math]

Так как замкнутая кривая только в первом квадранте, то интегрируем от 0 до Pi/2:

[math]S=\frac{1}{2}\int \limits _0 ^{\pi/2}r^2 dt =[/math]

[math]= -{\frac {108}{5}}\, \left( tg \left( t \right) +1 \right) ^{-5}-6\, \left( tg \left( t \right) +1 \right) ^{-3}+18\, \left( tg \left( t \right) +1 \right) ^{-4}+12\, \left( tg \left( t \right) +1 \right) ^{-6}-{\frac {18}{7}}\, \left( tg \left( t \right) +1 \right) ^{-7}\bigg |_0 ^{\pi/2}=\frac{6}{35}[/math]

Изображение

Автор:  Merhaba [ 03 май 2012, 05:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь области, ограниченной кривыми

Avgust
а второй номер как делать?

Автор:  Human [ 03 май 2012, 14:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь области, ограниченной кривыми

Делайте в лоб:

[math]S=\int\limits_0^ab\left(1-\sqrt[4]{\frac x a}\right)^4dx[/math]

Раскрывайте скобки и берите.

Автор:  Merhaba [ 05 май 2012, 14:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь области, ограниченной кривыми

Human
как можно вычислить этот интеграл? может быть есть какая-нить замена, позволяющая быстро вычислить?

Автор:  Human [ 05 май 2012, 14:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь области, ограниченной кривыми

Может быть, но я с ней не знаком. :)

Автор:  Alexdemath [ 05 май 2012, 15:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь области, ограниченной кривыми

Merhaba писал(а):
как можно вычислить этот интеграл? может быть есть какая-нить замена, позволяющая быстро вычислить?

Попробуйте [math]1-\sqrt[4]{\frac x a}=t[/math], должна помочь :Yahoo!:

Автор:  Human [ 05 май 2012, 15:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь области, ограниченной кривыми

Alexdemath писал(а):
Попробуйте [math]1-\sqrt[4]{\frac x a}=t[/math], должна помочь :Yahoo!:


Ну да, теперь всего-то надо раскрывать куб суммы, а не четвёртую степень. :D1

Автор:  Merhaba [ 05 май 2012, 15:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь области, ограниченной кривыми

Human писал(а):
Делайте в лоб:

[math]S=\int\limits_0^ab\left(1-\sqrt[4]{\frac x a}\right)^4dx[/math]

Раскрывайте скобки и берите.

а как можно делать не в лоб? :)

Автор:  Human [ 05 май 2012, 16:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь области, ограниченной кривыми

Merhaba писал(а):
а как можно делать не в лоб? :)


Можно, например, интегрировать не по [math]x[/math], а по [math]y[/math] :D1 . Можно ввести какие-нибудь другие координаты, типа [math]x=ar^8\cos^8\varphi,\ y=br^8\sin^8\varphi[/math] и интегрировать по области [math]0<r<1,\ 0<\varphi<\frac{\pi}2[/math]. Но всё равно, проще того, что предложили я и Alexdemath, не будет.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/