Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобственный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16539
Страница 1 из 1

Автор:  angelinka [ 29 апр 2012, 10:39 ]
Заголовок сообщения:  Несобственный интеграл

Привет товарищи! Споткнулась на одном задании:
Исследовать сходимость несобственного интеграла [math]\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos 3xdx}}{{1 + {x^2}}}}[/math]
Пробовала замену переменной [math]t = \frac{{tg3x}}{2}[/math], а также интегрирование по частям, но интеграл становился не легче.
Буду рада помощи.

Автор:  Alexdemath [ 29 апр 2012, 11:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

angelinka

Докажите, что сходится интеграл от модуля исходной подынтегральной функции [math]\frac{|\cos 3x|}{1+x^2}[/math].
Что доказать c помощью признака сравнения, так как очевидно при [math]x\in[0,+\infty)[/math] будут справедливы неравенства:

[math]0\leqslant\frac{|\cos 3x|}{1+x^2}\leqslant\frac{1}{1+x^2}[/math]

Автор:  angelinka [ 29 апр 2012, 11:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Alexdemath, спасибо,
но мой вопрос в первую очередь заключается в вычислении интеграла (чтобы убрать знак интеграла)

Автор:  Prokop [ 29 апр 2012, 11:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

angelinka
Для вычисления интеграла можно комплексные числа или теорию вычетов?

Автор:  Alexdemath [ 29 апр 2012, 11:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

angelinka
У Вас написано: "Исследовать сходимость несобственного интеграла ".

Докажите, что интеграл сходится, поскольку сходится абсолютно, то есть от модуля подынтегральной функции.

Так как, очевидно, при [math]x\in[0,+\infty)[/math] будут справедливы неравенства: [math]0\leqslant\frac{|\cos 3x|}{1+x^2}\leqslant\frac{1}{1+x^2}[/math], то, следовательно,

[math]0\leqslant\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{|\cos 3x|}}{{1 + {x^2}}}\,dx} \leqslant \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_0^b {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \left. {\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \operatorname{arctg} x} \right|_0^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \operatorname{arctg} b = \frac{\pi }{2}[/math]

Автор:  angelinka [ 29 апр 2012, 11:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Я думала, чтобы доказать что интеграл сходится или расходится, нужно его сначала вычислить.
У меня получилось так:
[math]\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos 3xdx}}{{1 + {x^2}}} = \left[ \begin{gathered} u = \cos 3x \hfill \\ du = - 3\sin xdx \hfill \\ dv = \frac{1}{{1 + {x^2}}}dx \hfill \\ v = arctgx \hfill \\ \end{gathered} \right]} = \mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } (\cos 3x*arctgx)\left| \begin{gathered} a \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. - \mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } \int\limits_0^a {( - 3\sin x*arctgxdx} )[/math]
Это правильно?
Только последний интеграл опять не знаю как вычислять.
И возможно ли здесь вычислить интеграл, чтобы найти значения предела?

комплексные числа или теорию вычетов - это мы не проходили

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/