Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 10:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 10:03
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Привет товарищи! Споткнулась на одном задании:
Исследовать сходимость несобственного интеграла [math]\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos 3xdx}}{{1 + {x^2}}}}[/math]
Пробовала замену переменной [math]t = \frac{{tg3x}}{2}[/math], а также интегрирование по частям, но интеграл становился не легче.
Буду рада помощи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 11:07 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
angelinka

Докажите, что сходится интеграл от модуля исходной подынтегральной функции [math]\frac{|\cos 3x|}{1+x^2}[/math].
Что доказать c помощью признака сравнения, так как очевидно при [math]x\in[0,+\infty)[/math] будут справедливы неравенства:

[math]0\leqslant\frac{|\cos 3x|}{1+x^2}\leqslant\frac{1}{1+x^2}[/math]


Последний раз редактировалось Alexdemath 29 апр 2012, 11:09, всего редактировалось 2 раз(а).
Опечатка

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 11:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 10:03
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath, спасибо,
но мой вопрос в первую очередь заключается в вычислении интеграла (чтобы убрать знак интеграла)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 11:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
angelinka
Для вычисления интеграла можно комплексные числа или теорию вычетов?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 11:26 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
angelinka
У Вас написано: "Исследовать сходимость несобственного интеграла ".

Докажите, что интеграл сходится, поскольку сходится абсолютно, то есть от модуля подынтегральной функции.

Так как, очевидно, при [math]x\in[0,+\infty)[/math] будут справедливы неравенства: [math]0\leqslant\frac{|\cos 3x|}{1+x^2}\leqslant\frac{1}{1+x^2}[/math], то, следовательно,

[math]0\leqslant\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{|\cos 3x|}}{{1 + {x^2}}}\,dx} \leqslant \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_0^b {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \left. {\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \operatorname{arctg} x} \right|_0^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \operatorname{arctg} b = \frac{\pi }{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
angelinka, igor_vis
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 11:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 10:03
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я думала, чтобы доказать что интеграл сходится или расходится, нужно его сначала вычислить.
У меня получилось так:
[math]\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos 3xdx}}{{1 + {x^2}}} = \left[ \begin{gathered} u = \cos 3x \hfill \\ du = - 3\sin xdx \hfill \\ dv = \frac{1}{{1 + {x^2}}}dx \hfill \\ v = arctgx \hfill \\ \end{gathered} \right]} = \mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } (\cos 3x*arctgx)\left| \begin{gathered} a \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. - \mathop {\lim }\limits_{a \to \infty } \int\limits_0^a {( - 3\sin x*arctgxdx} )[/math]
Это правильно?
Только последний интеграл опять не знаю как вычислять.
И возможно ли здесь вычислить интеграл, чтобы найти значения предела?

комплексные числа или теорию вычетов - это мы не проходили

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

2

296

29 ноя 2017, 19:34

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Katrina7

5

305

26 окт 2017, 16:20

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

buffon96

0

217

06 май 2015, 14:54

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ExtreMaLLlka

7

749

24 июн 2015, 08:42

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alexand

2

144

16 май 2020, 14:11

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

photographer

1

544

10 май 2015, 15:07

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

1

248

27 дек 2020, 22:56

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

1

133

27 дек 2020, 22:43

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Zema480

0

248

24 окт 2015, 11:54

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

12

365

27 дек 2020, 22:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved