Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что функция f(x) интегрируема на отрезке [0,1]
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 07:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 апр 2012, 16:04
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите доказать, что функция f(x) интегрируема на отрезке [0,1]

[math]f(x)=\operatorname{sign}\!\left(\sin\frac{\pi}{x}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция f(x) интегрируема на отрезке [0,1]
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 16:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для доказательства воспользуемся критерием Римана:

Для того чтобы ограниченная на отрезке функция была на нём интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы для любого [math]\varepsilon>0[/math] существовало такое разбиение [math]\tau[/math] отрезка [math][a,b][/math], что [math]S_{\tau}-s_{\tau}<\varepsilon[/math], где [math]S_{\tau}[/math] и [math]s_{\tau}[/math] - верхняя и нижняя суммы Дарбу.

Очевидно, что [math]f(x)[/math] интегрируема на любом отрезке вида [math][\eta,1][/math], где [math]\eta\in(0,1)[/math], поскольку любой такой отрезок можно разбить на конечное число частей таких, что на каждом из них функция будет непрерывна, а потому и интегрируемой, значит и на всём отрезке [math][\eta,1][/math] она будет интегрируемой.

Выберем некоторое [math]\varepsilon>0[/math]. Пусть [math]\delta=\frac{\varepsilon}4[/math]. Тогда на отрезке [math][\delta,1][/math] функция ограничена и интегрируема, значит по критерию Римана для [math]\frac{\varepsilon}2[/math] существует такое разбиение [math]\tau[/math] отрезка [math][\delta,1][/math], что [math]S_{\tau}-s_{\tau}<\frac{\varepsilon}2[/math]. Добавим к этому разбиению точку [math]0[/math] и обозначим новое разбиение за [math]\tau_0[/math]. На отрезке [math][0,\delta][/math] максимальное значение функции равно [math]1[/math], а минимальное [math](-1)[/math]. Поэтому верхняя сумма Дарбу для разбиения [math]\tau_0[/math] на отрезке [math][0,1][/math] равна [math]S_{\tau_0}=S_{\tau}+\delta[/math], а нижняя соответственно [math]s_{\tau_0}=s_{\tau}-\delta[/math]. Тогда [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}=S_{\tau}-s_{\tau}+2\delta<\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon[/math]. То есть мы для каждого [math]\varepsilon>0[/math] нашли разбиение [math]\tau_0[/math] отрезка [math][0,1][/math] такое, что [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}<\varepsilon[/math], значит по критерию Римана функция интегрируема на отрезке [math][0,1][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, betman
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция f(x) интегрируема на отрезке [0,1]
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 18:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не такая уж существенная поправка к доказательству: число [math]\varepsilon[/math] может быть слишком большим, и отрезка [math][\delta,1][/math] может не получится :D1 . Поэтому при [math]\varepsilon\geqslant4[/math] в качестве [math]\delta[/math] берём, например, [math]\frac12[/math]. Тогда в конечном неравенстве при [math]\varepsilon\geqslant4[/math] имеем: [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}<\frac{\varepsilon}2+1<\varepsilon[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
betman
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция f(x) интегрируема на отрезке [0,1]
СообщениеДобавлено: 29 апр 2012, 19:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще говоря верно даже более общее утверждение:

Если ограниченная на отрезке [math][a,b][/math] функция интегрируема по Риману на любом отрезке вида [math][a,\eta],\ a<\eta<b[/math] (или вида [math][\eta,b],\ a<\eta<b[/math]), то она интегрируема по Риману и на всём отрезке [math][a,b][/math].

Доказательство аналогично тому, что я выписал выше, только в качестве [math]\delta[/math] надо брать [math]\frac{\varepsilon}{4M}[/math], где [math]M[/math] - положительное число, ограничивающее модуль функции на отрезке [math][a,b][/math], то есть [math]|f(x)|\leqslant M[/math]. Для сумм Дарбу тогда будут выполнены неравенства: [math]S_{\tau_a}\leqslant S_{\tau}+M\delta,\ s_{\tau_a}\geqslant s_{\tau}-M\delta[/math]. Ну а дальше понятно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
При каких x функция интегрируема на отрезке

в форуме Интегральное исчисление

cookiez

1

126

16 апр 2022, 12:13

Доказать что функция интегрируема

в форуме Интегральное исчисление

Val193

5

505

29 дек 2017, 21:00

Интегрируема ли по Лебегу на луче функция

в форуме Интегральное исчисление

RandomNumGenerator

2

220

11 янв 2023, 12:24

Существует ли функция, которая принимает на любом отрезке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

eselfiek

5

280

05 мар 2021, 17:31

Доказать что функция аналитическая

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Ryslannn

3

99

15 окт 2024, 14:42

Доказать что функция мультипликативна

в форуме Теория чисел

Ibrokhim25Z2B5DI47

12

656

30 авг 2020, 20:50

Доказать что функция чётная

в форуме Алгебра

kempeributAmd

3

266

07 окт 2019, 19:15

Доказать, что функция инъективная

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

spi2207

6

534

23 ноя 2021, 23:57

Доказать, что функция НЕ дифференцируема в точке

в форуме Дифференциальное исчисление

KeyLimTok

1

236

09 сен 2023, 17:28

Доказать, что функция не является многочленом

в форуме Алгебра

Andy

4

1101

22 ноя 2017, 20:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved