Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| betman |
|
||
|
[math]f(x)=\operatorname{sign}\!\left(\sin\frac{\pi}{x}\right)[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Human |
|
||
|
Для доказательства воспользуемся критерием Римана:
Для того чтобы ограниченная на отрезке функция была на нём интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы для любого [math]\varepsilon>0[/math] существовало такое разбиение [math]\tau[/math] отрезка [math][a,b][/math], что [math]S_{\tau}-s_{\tau}<\varepsilon[/math], где [math]S_{\tau}[/math] и [math]s_{\tau}[/math] - верхняя и нижняя суммы Дарбу. Очевидно, что [math]f(x)[/math] интегрируема на любом отрезке вида [math][\eta,1][/math], где [math]\eta\in(0,1)[/math], поскольку любой такой отрезок можно разбить на конечное число частей таких, что на каждом из них функция будет непрерывна, а потому и интегрируемой, значит и на всём отрезке [math][\eta,1][/math] она будет интегрируемой. Выберем некоторое [math]\varepsilon>0[/math]. Пусть [math]\delta=\frac{\varepsilon}4[/math]. Тогда на отрезке [math][\delta,1][/math] функция ограничена и интегрируема, значит по критерию Римана для [math]\frac{\varepsilon}2[/math] существует такое разбиение [math]\tau[/math] отрезка [math][\delta,1][/math], что [math]S_{\tau}-s_{\tau}<\frac{\varepsilon}2[/math]. Добавим к этому разбиению точку [math]0[/math] и обозначим новое разбиение за [math]\tau_0[/math]. На отрезке [math][0,\delta][/math] максимальное значение функции равно [math]1[/math], а минимальное [math](-1)[/math]. Поэтому верхняя сумма Дарбу для разбиения [math]\tau_0[/math] на отрезке [math][0,1][/math] равна [math]S_{\tau_0}=S_{\tau}+\delta[/math], а нижняя соответственно [math]s_{\tau_0}=s_{\tau}-\delta[/math]. Тогда [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}=S_{\tau}-s_{\tau}+2\delta<\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon[/math]. То есть мы для каждого [math]\varepsilon>0[/math] нашли разбиение [math]\tau_0[/math] отрезка [math][0,1][/math] такое, что [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}<\varepsilon[/math], значит по критерию Римана функция интегрируема на отрезке [math][0,1][/math]. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Alexdemath, betman |
|||
| Human |
|
||
|
Не такая уж существенная поправка к доказательству: число [math]\varepsilon[/math] может быть слишком большим, и отрезка [math][\delta,1][/math] может не получится
. Поэтому при [math]\varepsilon\geqslant4[/math] в качестве [math]\delta[/math] берём, например, [math]\frac12[/math]. Тогда в конечном неравенстве при [math]\varepsilon\geqslant4[/math] имеем: [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}<\frac{\varepsilon}2+1<\varepsilon[/math]. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: betman |
|||
| Human |
|
||
|
Вообще говоря верно даже более общее утверждение:
Если ограниченная на отрезке [math][a,b][/math] функция интегрируема по Риману на любом отрезке вида [math][a,\eta],\ a<\eta<b[/math] (или вида [math][\eta,b],\ a<\eta<b[/math]), то она интегрируема по Риману и на всём отрезке [math][a,b][/math]. Доказательство аналогично тому, что я выписал выше, только в качестве [math]\delta[/math] надо брать [math]\frac{\varepsilon}{4M}[/math], где [math]M[/math] - положительное число, ограничивающее модуль функции на отрезке [math][a,b][/math], то есть [math]|f(x)|\leqslant M[/math]. Для сумм Дарбу тогда будут выполнены неравенства: [math]S_{\tau_a}\leqslant S_{\tau}+M\delta,\ s_{\tau_a}\geqslant s_{\tau}-M\delta[/math]. Ну а дальше понятно. |
|||
| Вернуться к началу | |||
|
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |