Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: 3 интеграла
СообщениеДобавлено: 26 апр 2012, 16:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
13 ноя 2011, 13:40
Сообщений: 52
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста, тему дали на самостоятельное изучение, ничего не понял, вот 3 интеграла ниже
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 3 интеграла
СообщениеДобавлено: 26 апр 2012, 22:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Параметризовать [math]L[/math] в виде [math]x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha\leqslant t<\beta[/math]
Затем воспользоваться формулой:

[math]\int\limits_LF(x,y)\,dl=\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(x(t),y(t))\sqrt{x'_t^2+y'_t^2}\,dt[/math]


Параметризацию попробуйте провести сами.

2,3) Если без формулы Грина, то аналогично: параметризуете [math]L[/math] и пользуетесь формулой:

[math]\int\limits_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int\limits_{\alpha}^{\beta}[P(x(t),y(t))x'_t+Q(x(t),y(t))y'_t]\,dt[/math]


Но проще воспользоваться формулой Грина:

[math]\int\limits_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_G\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dxdy[/math]


где [math]G[/math] - это область, ограниченная контуром [math]L[/math]. Таким образом криволинейный интеграл сведётся к кратному, а кратные интегралы Вы уже должны уметь брать. Во втором задании вообще всё получится замечательно: интеграл будет просто площадью круга (с некоторым коэффициентом). В третьем, правда, контура нет, но его можно сделать, если к половинке эллипса прибавить отрезок с концами [math](-a;0)[/math] и [math](a;0)[/math]. Поскольку [math]P=y^2=0[/math] и [math]y'_t=0[/math], то криволинейный интеграл по этому отрезку равен 0, поэтому он не изменится, если [math]L[/math] заменить на [math]L\cup[-a;a][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 3 интеграла
СообщениеДобавлено: 26 апр 2012, 22:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот ответы для контроля:

1) [math]8[/math]
2) [math]-4\pi[/math]
3) [math]-\frac43ab^2[/math]

Во втором и третьем посчитал и в лоб, и по формуле Грина, получил одни и те же ответы, так что в них я более-менее уверен. В первом не так уверен, там пришлось разбивать интеграл на две части из-за модуля, так что мог ошибиться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 3 интеграла
СообщениеДобавлено: 27 апр 2012, 16:22 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
13 ноя 2011, 13:40
Сообщений: 52
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human я не очень понял, можете показать как решить один полностью а остальные я по аналогии сам :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: 3 интеграла
СообщениеДобавлено: 27 апр 2012, 18:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да они тут все достаточно разные, разве что последние два похожи. Пожалуй напишу решение третьего двумя способами. Рисунков не будет, ибо не владею этим искусством.

1-ый способ (в лоб): Параметризация [math]L[/math] уже проведена, осталось уточнить пределы: [math]0\leqslant\varphi<\pi[/math]. Подставляя в выписанную мной ранее формулу, получим:

[math]\int\limits_Ly^2dx+x^2dy=\int\limits_0^{\pi}[-ab^2\sin^3\varphi+a^2b\cos^3\varphi]\,d\varphi=-ab^2\int\limits_0^{\pi}\sin^3\varphi\,d\varphi=[/math]

[math]=-ab^2\left(\int\limits_0^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi+\int\limits_0^{\pi}\cos^2\varphi\,d(\cos\varphi)\right)=-ab^2\left(2-\frac23\right)=-\frac43ab^2.[/math]


2-ой способ (с помощью формулы Грина): Как я писал ранее, интеграл не изменится, если к кривой [math]L[/math] добавить отрезок [-a; a]. При этом получится кусочно-гладкий контур, все входящие в задание функции и их производные непрерывно дифференцируемы, так что справедлива формула Грина:

[math]\int\limits_{L\cup[-a; a]}y^2dx+x^2dy=\iint\limits_G(2x-2y)\,dxdy[/math]


где [math]G[/math] - верхняя половина эллипса. Перейдём к следующим координатам: [math]x(r,\varphi)= ar\cos\varphi,\ y(r,\varphi)=br\sin\varphi[/math]. Тогда область [math]G[/math] задаётся так:[math]\ 0\leqslant r\leqslant1,\ 0\leqslant\varphi\leqslant\pi[/math]. Якобиан отображения равен [math]abr[/math], поэтому:

[math]\iint\limits_G(2x-2y)\,dxdy=\int\limits_0^1\,dr\int\limits_0^{\pi}(2a^2br^2\cos\varphi-2ab^2r^2\sin\varphi)\,d\varphi=-4ab^2\int\limits_0^1r^2\,dr=-\frac43ab^2.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
14_KaPaT, Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Три интеграла

в форуме Интегральное исчисление

alex1

25

860

15 мар 2017, 21:11

4 интеграла

в форуме Интегральное исчисление

graft

2

308

26 апр 2015, 11:19

2 интеграла

в форуме Интегральное исчисление

f3b4c9083ba91

1

317

19 апр 2015, 13:21

2 интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Liuara

19

624

12 дек 2018, 22:31

Два интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Zercord

2

327

09 янв 2018, 19:06

Взятие интеграла

в форуме Интегральное исчисление

hranitel6

2

221

09 май 2015, 18:25

Смысл интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Voronin

39

1602

10 мар 2015, 10:59

Осталось 4 интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Alena26

1

205

18 фев 2015, 20:43

Вычисление интеграла

в форуме Интегральное исчисление

CBETAV

12

884

12 янв 2015, 22:54

решить 2 интеграла

в форуме Интегральное исчисление

garry11111

1

248

22 июн 2017, 20:35


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved